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1、椭圆一知识清单 1。椭圆的两种定义： 平面内与两定点.，F2的距离的和等于定长的动点P的轨迹，即点集M=P I |PF1 I +|PF2l=2a, 2a|FF|；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F, F叫焦点，定点间的距离叫焦距。1 2 1 2 平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹 ，即点集M=P I , OVeV 1的常数。（为抛物线;为双曲线）（利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点， 定直线为准线）。2标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）；焦点.（一c, 0），F2 （c, 0）。其中（一个三
2、角形）（2）焦点在y轴上，中心在原点：（ab0）；焦点.（0,-c）, F2（0,c）。其中注意：在两种标准方程中，总有ab0,并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0, B0,AMB）,当AVB时，椭圆的焦 点在x轴上，AB时焦点在y轴上。3参数方程:焦点在x轴，（为参数）4一般方程：5。性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）有以下性质：坐标系下的性质： 范围：I x|Wa, |y|Wb； 对称性：对称轴方程为x=0, y=0,对称中心为0（0, 0）; 顶点：A （-a, 0）, A （a, 0）, B （0,b）, B （0, b）,长轴
3、 |AA |=2a，短轴 I B B I =2b；1 2 1 2 1 2 1 2 （半长轴长,半短轴长）； 椭圆的准线方程:对于，左准线；右准线对于,下准线;上准线焦点到准线的距离（焦参数） 椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称 焦半径公式：P（x , y）为椭圆上任一点.|PF I =a+ex ,|PF I =aex ； |PF | =a+ey , I PF I0 0 1 0 2 0102=aey0,左加右减,上减下加 通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=平面几何性质： 离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越扁
4、，是圆. 焦准距；准线间距 两个最大角焦点在y轴上，中心在原点：(ab0)的性质可类似的给出。6焦点三角形应注意以下关系:(1) 定义：r +r =2a12(2) 余弦定理：+2rrcos=(2c)212(3) 面积： =rr sin=2c| y 丨二 c| y | =1 2 0 0(其中 P()为椭圆上一点，IPF l=r ,|PF |=r ,ZFPF =)1 1 2 2 1 27。共焦点的椭圆系设法：把椭圆(ab0)的共焦点椭圆设为8。特别注意：椭圆方程中的 a,b，c，e 与坐标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶点坐标,与坐 标系有关。因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a, b,个
5、定位条件焦点坐标或准线方 程.9.弦长公式：(a,b, c为方程的系数考点1 椭圆定义及标准方程题型1：椭圆定义的运用例1 (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的 光线,经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B 是它的焦点，长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A. 4a B. 2(ac) C. 2(a+c) D.以上答案均有可能解析按小球的运行路径分三种情况：(1) ，此时小球经过的路程为2 (ac);(2) ,此时
6、小球经过的路程为2 (a+c)；(3) 此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】 1短轴长为，离心率的椭圆两焦点为 F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点，则 ABF2的周长为Ao 3Bo 6C.12Do 24解析C。长半轴a=3,ABF2的周长为4a=122。已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点则的最小值为()A. 5B. 7C.13D. 15解析B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，的最小值为10-12=7 题型2求椭圆的标准方程例2 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与 长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程
7、.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为或， 则,解之得:，b=c=4.则所求的椭圆的方程为或. 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系警示易漏焦点在y轴上的情况.【新题导练】3. 如果方程X2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是。解析（0,1）.椭圆方程化为+=1。焦点在y轴上，贝y2,即ki。又 k0, .00(*)X+x2=错误!, XX2=错误!错误！=3错误！ 一xi = 3x2错误！消去 x2，得 3 (xi+x2) 2+4xix2 = 0,A3(错误!)2十4错误! =0整理得 4k2m2+2m2k2 2 =
8、0m2=错误!时，上式不成立；m2工错误!时，k2=错误!，因入=3 .kHO .k2=错误！0,一1m一错误！或 错误!ml容易验证k22m2 2成立，所以(*)成立即所求m的取值范围为(一1,错误!)U (错误!，1)【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能例7椭圆上一点向轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，且。、求该椭圆的离心率.、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程。解析、，,，又，而。、为准线方程,，由 所求椭圆方程为【新题导练】14。设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点,点与点关于轴对称，为坐标原点,若,且
9、,则点的轨迹方程是()A. B。C。D.解析，选A.15。如图，在RtAABC中，ZCAB=90, AB=2, AC=.一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动，且保 持丨PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)设直线l的斜率为k,若ZMBN为钝角，求k的取值范围。解：(1)以AB所在直线为x轴，AB的中点0为原点建立直角坐标系，则A ( 1, 0), B (1, 0)由题设可得动点P的轨迹方程为，则曲线 E 方程为（2）直线MN的方程为由方程有两个不等的实数根ZZMBN是钝角即解得:又 M、B、N 三点不共线综上所述,k的取值范
10、围是二典型例题考点 1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用例2。点P为为椭圆上一点，F2是椭圆的两个焦点，试求：取得最值时的点坐标。题型 2 求椭圆的标准方程例3。设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与 长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程。考点 2 椭圆的几何性质题型 1：求椭圆的离心率（或范围）例4.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 .题型2：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 5。 已知实数满足，求的最大值与最小值考点 3 椭圆的最值问题题型 1： 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例6。椭圆上的点到直线1：的距离的最小值为.题型 2。一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点,e是C的离心率，求的 最小值.例7。已知椭圆内有一点A （2,1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值.二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例8已知椭圆内有一点A （2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求
