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1、第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够 的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。 一个实际的系统 必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。因此，稳定性问题是系统控制 理论研究的一个重要课题。对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入 响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概 念。应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系 统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。李雅普诺夫 (A.M. Lya
2、pun ov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫 稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。虽然在非线性系统的稳定性问题中， Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地 位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决 非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简 单的情况。3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u (t)，即满足条件：|U (t )| k g的
3、输入u (t)，所产生的输出y (t)也是有界的，即使得下式成立：l|y(t)l k 2 5则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO (Bounded Input Bounded Output)稳定。注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入输出描述才是唯一的和有意义的。系统外部稳定的判定准则系统的BIBO稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,T)为脉冲响应矩阵，则系统BIBO稳定的充的每一个元要条件是，存在一个有限常数k，使对于一切G o心G (t，T)ij tp)
4、有(t，T )(i 二 1,2,q; j 二 1,2,g (t,t) dT k gij即，G(t,T)是绝对可积的。b) 定常情况下的判定准则：对于零初始条件的线性定常系统，初始时刻t0=0,G(t)为脉冲响应矩阵，G(s)为传递函 数矩阵，则系统 BIBO稳定的充要条件是，存在一个有限常数k，G(t)的每一个元gq(t)(i 二 1,2,q； j 二 1,2,.p)有 Jt |g (t)dT k 0,均存在一个 (e,10) 0，当初始状态满足|x0 x | - 5时，系统运动轨迹满足lim|x(t；x ,t ) -x | 0)临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)vO)Lyapunov
5、 意义下不稳定稳定渐近稳定3.3.2李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法是通过系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的，其主要内容:用一次近似表达式表达状态方程，即X = AX，假如系统矩阵Ade全部特征值具有 负实部，则系统在平衡点处是稳定的，而且稳定性与高阶导数无关。(2) 如果在一次近似式的系统矩阵 A 的特征值中至少有一个具有正实部时，无论高阶 导数的情况如何，系统在平衡点处不稳定。(3) 如果在一次近似式的系统矩阵 A 的特征值中有零特征值，系统的稳定性要有高阶 导数决定。当高阶导数为零时，系统处于临界稳定状态。3.3.3 标量函数的正定性定义正定性：标量函数V(x)在域S中对所有非零状态(x丰0)有V(x) 0且V(0) = 0，称 V(x)在域S内正定。如V(x) = x2 + x2是正定的。12负定性：标量函数V(x)在域S中对所有非零x有V(x) 0且V(0) = 0，称V(x)在域 S内负定
