《一节二维随机变量及其分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一节二维随机变量及其分布（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章多维随机变量及其分布在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如，研究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高H、体重W,这里,H和W是定义在同一个样本空间S=e=某地区的全部学龄前儿童上的两个随机变量.又如，考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标X和纵坐标Y.在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们重点讨论二维随机变量.第一节多维随机变量的分布内容分布图示二维随机变量二维随
2、机变量的分布函数例1二维离散型随机变量及其概率分布例2例3例4例5例6二维连续型随机变量及其概率密度例7例8例9二维均匀分布例10二维正态分布例11内容小结课堂练习习题3-1内容要点：一、二维随机变量定义1设随机实验的样本空间为S=e,eS为样本点，而X=X（e）,Y二丫（e）是定义在S上的两个随机变量，称（X,Y）为定义在S上的二维随机变量或二维随机向量二维随机变量的分布函数定义2设（X,Y）是二维随机变量，对任意实数x,y,二元函数记为F(x,y)二P(XEx)P(Yy)PXx,Yy称为二维随机变量（X,Y）的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函数联合分布函数的性质：（1）OEF（x,
3、y）G,且对任意固定的y,F（-：,y）=0,对任意固定的x,F（x,-：）=0,F（-：,二）=0,F（二，：）=1;F(x,y)关于x和y均为单调非减函数,即对任意固定的y,当x2.XF(x2,y)亠F(為，y),对任意固定的x,当y2.y1,F(x,y2h-F(x,y1)；(2) F(x,y)关于x和y均为右连续，即F(x,y)二F(x0,y),F(x,y)二F(x,y0).三、二维离散型随机变量及其概率分布定义3若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可数个值，则称(X,Y)为二维离散型随机变量结论：(X,Y)为二维离散型随机变量当且仅当X,Y均为离散型随机变量.若二维离散型随机变量(X,
4、Y)所有可能的取值为(,yj)i,j=1,2，则称PX二知丫二比二Pj(i,j=1,2,)为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布(分布律),或X与Y的联合概率分布(分布律).与一维情形类似，有时也将联合概率分布用表格形式来表示，并称为联合概率分布表：注：对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观，而且能够更加方便地确定(X,Y)取值于任何区域D上的概率，即P(X,Y)D二、Pj,(x,yj)WD特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数：F(x,y)二PXEx,丫乞y二為Pij.右二x，yj3四、二维连续型随机变量及其概率密度定义设(X,Y)为二维随机变量，F(x,y)为其
5、分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对任意实数(x,y),有xyF(x,y)-f(s,t)dsdt,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的概率密度(密度函数),或X,Y的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数f(x,y)的性质：(1)f(x,y)0;二_J(x,y)dxdy=F(；,二)=1;(3)设D是xOy平面上的区域，点(X,Y)落入D内的概率为P(x,y)D二f(x,y)dxdyD特别地，边缘分布函数FX(x)=PXEx二PXmx,Y：上式表明：X是连续型随机变量，且其密度函数为fx(x)二十(x,y)dy,J同理,Y是连续型随机变量且
6、其密度函数为：fY(y)二f(x,y)dx,J分别称fX(x)和fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度函数若f(x,y)在点(x,y)连续，则有-F(x,y)=f(X,y).&內进一步，根据偏导数的定义，可推得：当x：y很小时，有Px：X_x亠x,y:Y_y亠y：f(x,y)-x_y,即,(X,Y)落在区间(x,x=x(y,y=y上的概率近似等于f(x,y).x：y.五、二维均匀分布设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数f(x,y)hf1入，(x,y)G0,其它则称(X,Y)在G上服从均匀分布.六、二维正态分布f(x,y)二若二维随机变量(X,Y)具有
7、概率密度其中7，2，G，；2，均为常数,且-10_2OI讣1则称(X,Y)服从参数为72，G，；2，的二维正态分布注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数亦即对给定的叫，2，二1，；2，不同的匸对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于X和关于Y的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量(X,Y)的联合分布的例题选讲：二维随机变量的分布函数例1设二维随机变量(x,y)的分布函数为/xY、F(x,y)=ABarctanCarctan=,-：x：,-：y：I2人3.丿试确定常数A,B,C.（2）求事件2：X：；,0:丫岂3的概率.解（1）由二维随机
8、变量的分布函数的性质，可得F（：,：）二A（B二/2）（C-：/2）=1,F（：，：）=A（B二/2）（C二/2）=0,F（：,：）二A（B二/2）（C二/2）=0,由这三个等式中的第一个等式知A=0,B二/2=0,C二/2=0,故由第二、三个等式知B-黛/2=0,C_二/2=0,于是得B=C=二/2,A=1/订故（X，丫）的分布函数为F（x,y）=12r+arctan?匸+arctan=.n222人23丿由式得P2X+乂,0vY瓷3=F（E3）F（亦,0）F（2,3）+F（2,0）=1/16.二维离散型随机变量及其概率分布例2（讲义例1）设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值
9、，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值，试求（X,Y）的分布律.解由乘法公式容易求得（X,Y）的分布律易知X=i,Y=：j的取值情况是：i=1,2,3,4,取不大于i的正整数，且11PX=i,Y=j二PY=j|X二iPX二-,i=1,2,3,4,jii4于是（X,Y）的分布律为例3（讲义例2）把一枚均匀硬币抛掷三次正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值缘分布解（X,Y）可取值（0,3）,（1,1）,（2,1）,（3,3）PX=0,Y=3=（1/2）3=1/8,PX=1,Y=1=3（1/2）3=3/8,PX=2,Y=1=3/8,PX=3,Y=3=1/8,故（X,Y）的概率分布如右表从概率分
10、布表不难求得（X,Y）关于X,Y的边缘分布PX=0=1/8,PX=1=3/8,设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为求（X,Y）的概率分布及（X,Y）关于X,Y的边YX13701/83/8023/80301/8X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16PX=2=3/8,PX=3=1/8,PY=1=3/83/8=6/8,PY=3=1/81/8=2/8,从而得右表13PX=Xj001/81/813/803/823/803/8301/81/8PY=yi6/82/81例4设二维随机变量的联合概率分布为-201-10.30.10.110.05
11、0.2020.200.05求PX乞1,Y_0及F(0,0).解PX1,Y_0=PX-1,丫=0PX-1,Y=1PX=1,Y=0PX=1,Y=1=0.10.10.20=04F(0,0)=PX-1,Y-2PX-1,丫=0=0.30.1=04二维连续型随机变量及其概率密度例5设(X,Y)的概率分布由下表给出，求PX=0,Y=0,PX乞0,Y乞0PXY=0,PX二Y,P|X|=|y|.表31BX-10200.10.2010.20.050.120.1500.1解PX=0,Y=0=PX=1,Y=0PX=2,Y=0=0.050=0.05,PX=0,Y=0=PX=0,Y-1PX=0,Y=0=0.10.2=0.
12、3,P|X|=|Y|=PX=0,Y=0PX=1,Y=-1PX=1,Y=-1=0.20.30.1=06例6一整数N等可能地在1,2,3/,10十值中取一个值.设D=D(N)是能整除N的正整数的个数，F二F(N)是能整除N的素数的个数(注意1不是素数).试写出D和F的联合分布律.并求分布律.解将实验的样本空间及D,F取值的情况列表如下：12345678910D1223242434F0111121112D所有可能取值为1,2,3,4。F所有可能取值为0,1,2.容易得到(D,F)取(i,j),i=1,2,3,4,j=0,1,2的概率，可得D和F的联合分布律及边缘分布律如下表：XI1234PF=j01
13、/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10PD=i1/104/102/103/101即有边缘分布律D1234F012Pk1/104/102/103/10Pk1/107/102/10例7(讲义例3)设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)辰“旳,:0,x0,y0,其它.(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率PYEX.“yx解(1)F(x,y)(x,y)dxdy2exy)dxdy,0,x0,y0其它即有F(x,y)7,x0,y-0其它(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标上直线y=x及其下方的部分，如图.于是，即有Y_X=(X，丫)G,其中G为xOy平面PYEX二P(x,y)G=f(x,y)dxdy=Gy2ey)dxdy二-be-be丄、=dyy才孑产dy-i3yIedy.3例8(讲义例4)设(X,Y)的概率密度是f(x,y)：y(2-x),0,0乞X乞1,0乞y乞x其它求(1)c的值。(2)两个边缘密度解由.f(x,y)dxdy=1确定c.1-x-J0阻cy(2-x)dydx=c：x2(2_x)/2dx=5c/24J労24/5.x24122(2)fx(x)
