小世界网络上的谣言传播动力学

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1、小世界网络上的谣言传播动力学Damian H. ZanetteConsejo Nacional de Investigaciones Cient寸icas y TecnicasCentro Atomico Bariloche and Instituto Balseiro8400 Bariloche, Rio Negro, Argentina(2008. 2. 1)我们研究小世界网络上的一个谣言传播的传染病类似模型的动力学。该模型在定位和 传播制度间为我们展示了一个转变，在网络随机性的一个有限值情况下。在这里，用数值方 法我们对两个制度之间的演变进行一次定量表征。动态小世界的转化，在这里，小世界

2、网络 的淬至无序被个体间随机变化的联系所取代，还被详细分析以及被拿来与一个平均场近似法 作比较。I.介绍这些网络背后真正的社会互动，它们的节点代表单一的个体，而它们的链接 连结被希望有互动的个体，随着时间改变并很大程度地依靠相关交互的种类。然 而，通常社会网络显示两个特殊的、与社会互动性质紧密相关的拓扑性质。第一， 它们高度聚集，即一个指定个体的两个随机被选的邻居有相对较大的可能轮流成 为彼此的邻居。第二网络中任意两个节点间的距离，作为测量的最小链接数路 径连接这两个节点，与节点或链接总数相比，一般而言是非常小的。这究竟是所 谓的小世界效应。小世界网络(SWN )构成抓住这两个属性的社会网络的

3、数学模型 s。它们是部分无序的网络，并插入规律点阵和完全随机图之间。实际上，连接 超过最近邻居的N-节点的规律点阵拥有高集群，但是节点间的平均距离为N。另 一方面，随机网络中的平均距离为InN N，但一个指定节点的两邻居彼此是 邻居的可能性为N *对于有节制的无序，SWNs持有有序和随机网络的两个理想 特性W，因此对社会过程的数学研究是一个方便的工具。小世界网络由一个具有适度地高连通性的有序点阵开始创建，这确保了高集 群。然后，每个链接以可能性p被远离，再被两个随机选择的节点重新连接。这 个过程在网络的另外两个远距离领域间创造了一个捷径。可能性p测量的是结果 图的无序或随机的程度。对于p =0

4、.，规则被完全保存；p =1，得到一个随机图。 然而，要注意平均连通性是个常量。的SWNs拓扑性质，例如节点间的平均距离， 向随机性为p N-1的随机图展示了：一个来自于在规律点阵里发现的行为的交 叉。在一个无限大的网络的限制下，一个决定性的、两个制度间的转变发生在 p =0时7,8。发生在相同临界点的类似转变被找到：对于在SWNs上的一些简单 的动力学过程，如伊辛类自旋系统和全体耦合振子。相比较而言，最近这已被 证明：其他种类的过程展现了一个从本质上讲不一样的动力学制度之间的转变， 当随机性是一个有限值时。特别是，在一个流行病模型中，一个本是敏感的、受 到感染后的个体经历了一次病周期又恢复到

5、敏感状态，在有限值p时一次转变发 生在接下来两个制度之间：一个是不同个体的生病周期存在着时间上的不正确性 （低P ）；另一个则是周期同步（高P ）饵。此外，对于谣言传播，类传染病模型中 一个数量上相似的转变已经在，谣言处于小范围（低P ）和谣言的传播超过了网络 的有限部分（高p ）这两个制度间被找到1。谣言传播模型中发现的转变的临界现象性质已被有限大小的规模分析方法 有力地证明了 1。这篇文章，另一方面，主要集中在对相同模型的动力学性质的 详细描述上，着重于小世界拓扑学介绍的影响。下一章节，我们将介绍该模型并 概括定位和传播制度间的决定性的转变的主要结果。文章的核心一一三、四部分， 致力于在我

6、们的模型的数个参量和描述它的演变进程的恰当的工程量之间建立 联系。在淬火小世界网络和所谓的动力学小世界中，互动链接中淬火混乱被互动 伙伴的随机选择所代替。我们强调这两种情况的异同之处。最后，我们概括及讨 论主要结果。II.谣言传播模型考虑一个由N个个体组成的群体，这里，每一个时刻，每个个体采取三分之 一可能的状态。在第一个状态，该个体还没有听到这个谣言。第二个状态，该个 体知道了这个谣言并愿意将之传播。最后，第三个状态，该个体早已听过该谣言， 已对它没了兴趣并不去传播。同样，SIR流行病模型11，这三个状态分别被称作： 敏感的，被感染，不听话。起初，只有一个个体被感染，而剩余群体是易受感染 的

7、。动力学规则如下表现12。在每一个时刻，一个个体/从被感染群体中被随机 选择。该个体接触它的一个邻居j。如果j处于敏感态，i传播该谣言，则j被感 染。另一方面，如果j已经被感染或者不听话，然后i对谣言失去兴趣并成为不 听话。在定性关系中，动力学如下被概括。演变的第一个态，被感染个体数增加并 且在一个更低的速率，不听话群体也在增长。结果，被感染个体之间以及他们与 不听话个体之间的接触变得频繁起来。最终，被感染群体开始下降并消失，然后 演变停止。最后，该群体被分成一个.不听话个体的组合，他们在演变期间的 某些阶段已被感染过，和一个敏感个体的组合，他们从未听过该谣言。这已被证 明13:接触可以在此群

8、体中的任意两个个体间被建立，不听话个体部分r = N /R 在演变最后接近一个明确的限制r*，对于逐渐变大的系统，N*。这部分由 超越方程的重要的解决方案给定：r * = 1 - exp（ -2r *）（i）即r* 0.796。换句话说，群体的20%从不知道该谣言。在个体间的接触沿着社会上貌似合理的结构（即小世界网络）强加的链接被 建立的情况，我们对此很感兴趣。就像“介绍”中所改进的，BWN的构建从一 个规则格子开始，带着某个个体在每个节点。我们选择一个有着周期边界条件的 一维数组，这里每个节点都连接着它的2K最近邻居，即顺时针方向和逆时针方 向连接K最近邻居。然后每个节点i的每个K顺时针方向

9、链接以P的可能性被再 次呼叫到一个随机选择的节点J，不属于i的街坊。一条捷径因此被创建。我们 避免节点间双重的和重复的连接，并抛弃实现，这里BWN被分离。早先的集中在对最终状态的描述上的对此系统的分析，揭露了一次在两个分 化良好的制度之间起决定性作用的转变的重现，在随机的一个有限值p 10 p p时”的平均值会随着N的增大而逐渐接近一个常量。在K = 2的 c特殊情况下，有限大小的规模分析表明，对于渐近的大系统，si p - pc IYPc 20.19，与Y 2.2。K值越大，p越小。而丫，相反，则几乎趋于无限大。 对于给定值K、p和N，在我们的系统的大系列的实现中，N值的分布Rf(Nr)给出

10、了定位传播转变的起源的提示。图1给出了： K = 2的那些分布中， p的两个值一一小于和大于转变一一以及N的三个值。每个实现中，SWN都会被 再造。pp时，分布近似于指数，且与依靠N。结果，N的值也是独立于系 统的规模，就如上所述，比率v = N /N随着N的增大而减小。具体来说，对于 大值N，有N-1。p p时，分布呈双峰式，两个极大值被一个局部极小值隔开。 小N制度依然独立芋N，并获得一个极大值近似于N =0。另一方面，对于大 值nr，我们发现了一个额外的类碰撞结构，此结构随着系统规模而变化。尤其 是，它的极大值Nmax随着N的增大而向右转移，此时，Nmax 0.25 N。同时， 由于撞击

11、以下的区域几乎是恒定不变的，因此，该附加结构产生一个规则N贡 献给N的平均值。所以，v在转变中是有限的。当在一个属于小n制度的实现 RR中，谣言在p p，小Nr的区域中一 一令人联想到一次随机游动。事实上，被感染个体数量的演变可以被认成一次在 n,空间里的一维随机游动，从n广1开始并带着一个在起点处的吸引人的边界条 件，n广0，此时演变结束。我们可能会想到一个关于起点的首次通过时间的问 题，对于一个随意的、从n广1开始的步行者战 然而，该类推要开拓起来会比 较难，因为随意游走会因复杂的时间依赖不对称性而有所偏倚。实际上，n增 长或减小的可能性并不仅仅依赖于n,它自己，也依赖敏感和不听话个体的数量。 该偏见尤其会对P pc的大Nr实现产生强烈的影响。在这种情况下，的确，n, （t） 的演变并不像一个随意的轨道：而更像是仿造噪音的中等水平作用下的确定性动 力学。（参见图2b）。总之，该首先通过时间类推法暗示了：传播过程的一次紧密的定量描述由总 时间T消逝一直到被感染人群的消灭和演变期