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1、-第3讲三角函数的图象与性质【2013年高考会这样考】1考察三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用2考察三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用【复习指导】1掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象通过三角函数的图象研究其性质2注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用根底梳理1“五点法描图(1)ysin *的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,0)，(，0)，(2，0)(2)ycos *的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,1)，(，1)，(2，1)2三角函数的图象和性质函数性质ysin *yc
2、os *ytan *定义域RR*|*k，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：*k(kZ)对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：*k(kZ)对称中心：无对称轴对称中心：(kZ)周期22单调性单调增区间，2k(kZ)；单调减区间，2k(kZ)单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间，k(kZ)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数yAsin(*)和yAcos(*)的最小正周期为，ytan(*)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin *或yAtan *，而偶函数一般可化为yAcos *b的形式三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin
3、 *、cos *的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(*)k的形式逐步分析*的*围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin *或cos *看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题双基自测1(人教A版教材习题改编)函数ycos，*R()A是奇函数B是偶函数C既不是奇函数也不是偶函数D既是奇函数又是偶函数答案C2函数ytan的定义域为()A.B.C.D.答案A3(2011全国新课标)设函数f(*)sin(*)cos(*)的最小正周期为，且f(*)f(*)，则()Af(*)在单调递减Bf(*)在单调递减Cf(*)在单调递增Df(*)在单调递增解析f(*)sin
4、(*)cos(*)sin，由最小正周期为得2，又由f(*) f(*)可知f(*)为偶函数，因此k(kZ)，又|可得，所以f(*)cos 2*，在单调递减答案A4ysin的图象的一个对称中心是()A(，0) B.C.D.解析ysin *的对称中心为(k，0)(kZ)，令*k(kZ)，*k(kZ)，由k1，*得ysin的一个对称中心是.答案B5(2011*三模)函数f(*)cos的最小正周期为_解析T.答案考向一三角函数的定义域与值域【例1】(1)求函数ylg sin 2*的定义域(2)求函数ycos2*sin *的最大值与最小值审题视点 (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用
5、单位圆或图象求*的*围(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决解(1)依题意.(2)设sin *t，则t.y1sin2*sin *2，t，故当t，即*时，yma*，当t，即*时，ymin. (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin *bcos *c的三角函数化为yAsin(*)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2*bsin *c的三角函数，可先设sin*t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin *cos *b(sin *cos
6、*)c的三角函数，可先设tsin *cos *，化为关于t的二次函数求值域(最值)【训练1】 (1)求函数y的定义域(2)函数f(*)cos2sinsin，求函数f(*)在区间上的最大值与最小值解(1)要使函数有意义，必须使sin *cos *0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin *和ycos *的图象，如下图在0,2内，满足sin*cos *的*为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为.(2)由题意得：f(*)cos 2*sin 2*(sin *cos *)(sin *cos *)cos 2*sin 2*sin2*cos2*cos 2*sin 2*cos 2*sin.又*
7、，2*，sin.故当*时，f(*)取最大值1；当*时，f(*)取最小值.考向二三角函数的奇偶性与周期性【例2】(2011*模拟)函数y2cos21是()A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数审题视点 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性解析y2cos21cossin 2*为奇函数，T.答案A 求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进展三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解【训练2】 函数f(*)(sin *cos *)sin *，*R，则f(*)的最小
8、正周期是_解析由f(*)(sin *cos *)sin *sin2*sin *cos *sin 2*sin.最小正周期为.答案考向三三角函数的单调性【例3】f(*)sin *sin，*0，求f(*)的单调递增区间审题视点 化为形如f(*)Asin(*)的形式，再求单调区间解f(*)sin *sinsin *cos *sin.由2k*2k，kZ，得：2k*2k，kZ，又*0，f(*)的单调递增区间为. 求形如yAsin(*)k的单调区间时，只需把*看作一个整体代入ysin *的相应单调区间内即可，假设为负则要先把化为正数【训练3】 函数f(*)sin的单调减区间为_解析f(*)sinsin，它的
9、减区间是ysin的增区间由2k2*2k，kZ，得：k*k，kZ.故所求函数的减区间为(kZ)答案(kZ)考向四三角函数的对称性【例4】(1)函数ycos图象的对称轴方程可能是()A* B* C* D*(2)假设0，g(*)sin是偶函数，则的值为_审题视点 (1)对ycos *的对称轴为*k，把“*看作一个整体，即可求(2)利用k(kZ)，求解限制*围内的.解析(1)令2*k(kZ)，得*(kZ)，令k0得该函数的一条对称轴为*.此题也可用代入验证法来解(2)要使g(*)cos为偶函数，则须k，kZ，k，kZ，0，.答案(1)A(2) 正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数
10、的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用【训练4】 (1)函数y2sin(3*)的一条对称轴为*，则_.(2)函数ycos(3*)的图象关于原点成中心对称图形则_.解析(1)由ysin *的对称轴为*k(kZ)，即3k(kZ)，得k(kZ)，又|，k0，故.(2)由题意，得ycos(3*)是奇函数，k，kZ.答案(1)(2)k，kZ难点突破9利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合下面就利
11、用三角函数性质求解参数问题进展策略性的分类解析一、根据三角函数的单调性求解参数【例如】 (2011*三校模拟)函数f(*)sin(0)的单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，则的值为_二、根据三角函数的奇偶性求解参数【例如】 (2011*模拟)f(*)cos(*)sin(*)为偶函数，则可以取的一个值为()A. B. C D根据三角函数的周期性求解参数(教师备选)【例如】 (2011*模拟)假设函数ysin *sin(0)的最小正周期为，则_.根据三角函数的最值求参数(教师备选)【例如】 (2011*模拟)假设函数f(*)asin *bcos *在*处有最小值2，则常数a、b的值是()Aa1，bBa1，bCa，b1 Da，b1. z
