教研组教案(高二文)：椭圆

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1、椭圆【教学目标】一、知识目标1、学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2、能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程；3、掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质；4、够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图。二、能力目标1、通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义；2、培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力，并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.三、情感目标1、通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；2、通过讨论椭圆方程推

2、导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.【教学重点】1、椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程；2、对椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质的探索及运用。【教学难点】1、椭圆标准方程的建立和推导；2、椭圆离心率的概念的理解.【知识梳理】1、椭圆的定义平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。注意：时，符合上述题意的轨迹是椭圆；时，符合上述题意的轨迹是线段；时，符合上述题意的轨迹不存在。2、椭圆的标准方程1）椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）焦点坐标或（）（焦点在y轴上）焦

3、点坐标2）a,b,c间的关系：（焦点位置的判定方法：分母哪个大，焦点就在哪个轴。）3、椭圆的几何性质标准方程 图形性质焦点，范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长、焦距长轴长=，短轴长=，焦距离心率准线方程4、离心率椭圆的焦距与长轴的比：，叫做离心率。注意：（1）e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；（2）e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆；当e1时，图形变成了一条抛物线。【典型例题】题型一、椭圆的定义例1：已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）A B C

4、 D【解析】选D. 椭圆 a5P到椭圆一个焦点的距离为3 P到另一焦点的距离为：2a37例2：过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2围成的三角形ABF2的周长是 .【解析】。 a2= a 则AF1+AF2=2a=，BF1+BF2=2a=，相加；且AF1+BF1=AB所以周长=AB+AF2+BF2=题型一变式、椭圆的定义的应用变式1：椭圆1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON| 等于() A2 B4 C8 D.【解析】 选B。 连接MF2，已知|MF1|2，又|MF1|MF2|10，|MF2|10|MF1|8，如图，|ON|MF2|4.变式2：（201

5、1青岛模拟）已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.【解析】 3。由题意知|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2， (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2. |PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29. b3.题型二、椭圆的标准方程例1：（1）已知a=4, b=1，焦点在x轴上的椭圆方程是_（2）已知焦点坐标为(0, 3), (0, 3)，且a=6的椭圆方程是_【解析】（1）根据题意知a=4，b=1，焦点在x轴上a2=16,

6、 b2=1 椭圆的标准方程为：（2）根据题意知a=6，c=3，焦点在y轴上a2=36, c2=9 =16, b2= a2- c2=27 椭圆的标准方程为：例2：两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点。求该椭圆的标准方程。【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为.由椭圆的定义知：2a=a=，又c=2 b2=a2c2=6所以所求椭圆方程为【点评】注意焦点的位置，已知椭圆的特征，只要运用待定系数法，求出,c例3：已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程【解析】因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求

7、得椭圆的标准方程解：当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，代入得，故椭圆的方程为当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，联立解得，故椭圆的方程为题型二变式、含字母的椭圆的标准方程变式1：已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值【解析】分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值解：方程变形为因为焦点在轴上，所以，解得又，所以，适合故变式2：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）AB（0，2）C（1，+）D（0，1）【解析】选D。 xky=2即为x/2y/2/k=1，所以焦点在y轴上，则2/k2，则0k16时，a=，b=4， c2=m-16,则，得m=18题型三变式、

8、性质的应用变式1：如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （A） （B） （C） （D）【解析】选A。 2c、2b、2a成等差数列,不妨设ab0所以2*2b=2c+2a， 2b=c+a， 4b2=(a+c)2， 4(a2-c2)=a2+c2+2ac， 3a2-5c2-2ac=0两边同除以a2得3-5e2-2e=0 解得e=3/5,e=-1(舍)变式2：过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 A B C D 【解析】因为，再由有从而可得，故选B【点评】椭圆离心率的考查是一个常考点，它是圆锥曲线之间了解的关键点，一定要记得其定义和公式。变式3：椭圆的

9、半焦距为，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【解析】由题知点，因为点在椭圆上，所以，化简得，又因为，所以，化简得，同除以得，解得， 因为，所以 ，故选C【点评】本题的关键是根据已知条件得到、的等量关系若能充分利用图形的几何特征及曲线的定义，还可有其他稍微简便的解法变式4：(2012武汉质检)在RtABC中，ABAC1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为_【解析】答案。设另一个焦点为F，如图所示，|AB|AC|1，ABC为直角三角形，114a，则a， 设|FA|x，x，124c2， c，e.变式5

10、：已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 . 【解析】解析依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。【点评】此题考查椭圆定义的灵活运用，注意结合其它相关知识点。题型四、椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1：已知实数满足,求的最大值与最小值。【解析】把看作的函数解：由得,当时,取得最小值,当时,取得最大值6例2：如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点则_【解析】解：由椭圆的对称性知： 题型四变式、利用椭圆性质求最值变式1：椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为_【解析】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数，利用三角换元解：在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为：变式2：是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值【解析】解：当时，取得最大值，当时，取得最小值变式3：已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，是原点，则四边形的面积的最大值是_【解析】解：设，则题型五、用椭圆的定义求轨迹方程例1：已知动点的轨迹为曲线，且动点到两个定点的距离的等差中项为.求曲线的方程【解析】解：因为到两定点距离的等差中项为，那么到两定点距离的