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1、Stolz定理的若干应用XXXX（XXXXX欢学 XXXXX您业 XXXB XX 班）摘要极限思想是许多科学领域的重要思想之一.为了解决求极限的问题，本文介绍了计 算极限的一种方法Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广.本文先叙述有关Stolz定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广 的有关结论在极限求解中的应用.Stolz定理可以说是数列的L Hospital法则，它对求 数列的极限很有用.Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用 Stolz定理可 变得十分容易.Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了 Stolz 定理的数列情
2、形、函数情形.关键词Stolz 定理；数列；函数；极限Some applications of Stolz theoremsZHANG Ran(Grade 2004 Class (2) Information and Computing Science College of Mathematics and Physics University of Science and Technology of Suzhou)AbstractThe limit thought is one of many scientific field important thoughts. Inorder to so
3、lve asks the limit the question , this article introduced the computation limits one method Stolz theorem , and has popularized the conclusion of Stolz theoremThis article first narrates related Stolz theorem some known conclusions,then in the limit solution through the example explained the applica
4、tion of the Stolz theorem and its popularized related conclusion . The Stolz theorem can be said to be sequence LHospital principle , it is very useful to asks the sequence the limit . The Stolz theorem can be popularized to the situation with the limit of function , some questions use the Stolz the
5、orem to becomevery easy. The Stolz theorem is important theorem to prove the limit existence of the sequence and function . This article has given the Stolz theorem the situation of sequence and the situation of functionKeywords Stolz theorem; sequence; function; limit摘要关键词IAbstract Keywords n1引言12
6、序列形式的Stolz定理 12.1 型 Stolz 公式12.2 0 型 Stolz 公式 302.3 序列形式的Stolz定理应用 43 函数形式的Stolz定理 103.1 型 Stolz 公式 103.2 0 型 Stolz 公式 1303.3 函数形式的Stolz定理应用 14结论 18致 19参考文献 201引言极限论是数学分析的基础，极限问题是数学分析中困难问题之一.中心问题有两个： 一是证明极限存在，二是求极限的值.两问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极 限的存在也被证明.反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路.讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限.两类极限
7、，有平行的理论，类 似的方法，彼此有着深刻的在联系.极限思想是许多科学领域的重要思想之一.因为极限的重要性，从而怎样求极限也 显得尤其重要.对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常局限，不仅计 算量大，而且不一定能求出结果.为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极 限的方法.本文介绍了计算极限的一种方法一一 Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行 了推广，讨论如何利用Stolz定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.本文先叙述有关Stolz定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广 的有关结论在极限求解中的应用.Stolz定理可以说是数列的L
8、Hospital法则，它对求 数列的极限很有用.Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用 Stolz定理可 变得十分容易.Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了 Stolz 定理的数列情形、函数情形.2 序列形式的Stolz定理2.1 型Stolz公式定理2.1 （型Stolz公式）设xn严格递增（即n有xn xn1），且lim xn. 若 lim -ynyna ,nnxnxn 1则limn之a （其中a为有限数，或 ）.xn证10（ a为有限数的情况）因为xn严格递增，所以 nxn xn 10 .记YnYn 1 久a按已知条件有limn0,即0,0,当nN
9、时，有由（1）得YnYnYna)(Xn Xna)(xn 11)Xn 2)a)(XnXn1)YnYnN 11 (Xna)(xN 11 Xn )Xn)( n ( xnna)(XnXn 1) a(xxn 1 ) nxN ).两边同时除以再同时减去YnXn因为lim Xnn且有Xn因为所以当limnxn lim n YnXnyNXnaxNXn 1Xnn|xnxn 1xnYn axNXnYn axNXnN1的情况）Yn Yn 1Xnxn 1XnXnXn2.所以lim 3n Xn所以对MN 时，YnNi时有1,yn 1N时,知YkYnx n lim n YnxnYn axNXn0,当Xnxn 1yn 1严
10、格递增.（2）式中令n N 1,NYkYnXkXn0 .，即 lim Ynn0.由1 的结论得limnXnYn2,时,.于是Yn严格递增,lim XnXn 1nYnYn 10,limn幺一yn-11,即xnxn 1然后相加，可得Yn故 lim *nXn3 ( a的情况）只要令YnZn即可转化为2中的情况.lim n2.2注 lim XnXny n 1Xn 1般推不出lim皿 .例如n XnXn 1,2,3, n,这时虽然lim YnYn1nXnXn 1Yn0,22,0,42,0,62,但Xn0,2,0, 4, 0,6,不趋向注 若lim ana ,在Stolz定理中设XnnYn 1Ynlim
11、an 1Xn 1Xnn9型Stolz公式0定理2.2 (零）.若lim nYnXnn ， Ynaia2an .因为因为n按已知条件可得a ,所以 lim aa2n0 型 Stolz 0公式）an因而Stolz定理是它的推广形时Yn 0 , Xn严格 0（严格单调下降趋向则limnYnXna （其中a为有限数，或 ）.（a为有限数的情况）时YnXn严格 0（严格单调下降趋向零）.所以Yn Yn0, XnXn 10 limnYn Yn 1Xn Xn(a(a)(Xn)(Xn可知0, N0,当n N时，有YnXnxnXn1)ynyn 1(a )(Xn Xn 1).p)Ynyn p(a)(XnXn p)
12、.令 p ，得(a)xn yn (a)xn ,即aXn所以limnXn2 （a的情况）因已知lim nynyn 1XnXn 1，所以对 M 0, N 0,当n N时，有X_二MXnXn 1推得 yn yn p M (XnXn p ) .令 p，得 yn MXn ,即 以 M (n N).故XnlimnynXn3 ( a的情况）只要令ynZn即可转化为2。中a的情况.注 Stolz定理只是给出了极限存在的充分条件，并非必要.例如 _n 12_ _Xn 1 2 3 4（ 1） n , yn n （n 1,2,3,）.虽然lim Xn Xn1不存在，1是却有lima 0,另外，定理2.1其名为一型，
13、其实 n y n y n 1n yn只要求分母（严格单调上升趋向无穷大），至于分子yn是否趋向无穷大，无关紧要.定理2.2是名副其实的0型.因为定理要求分子、分母都以0为极限.因此，Stolz0定理为求某些待定型极限提供了一个有用的工具.2.3序列形式的Stolz定理应用Stolz定理，对于求序列的极限十分有用.例1 应用Stolz定理求极限：222_2135(2n 1).(1) lim 3；nn一123252nimn n3(2n 1)2 4解(1) 由Stolz定理，得2_222123252(2n 1)2lim znn3limn2(2n 1)2n3(n 1)3(2)因为nf22_235(2n 1)3n 2231323(2n 1) 4n2，3n2所以，由Stolz定理，得原式limJ n(2n1)24n3设0 X1证 设inf由于Xn
