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1、一元微分学的进一步讨论-Taylor公式初探及一元微分学在应用问题上的算法化简数理基础科学孙宇浩一元微分学的进一步讨论-Taylor公式初探及一元微分学在应用问题上的算法化简微积分诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为是高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利.在几百年间，关于其的研究结果如黄河之水源源不竭，其逻辑基础也不断强化.对于初学者的我们更应该用其精华来武装自己的头脑.而学习的过程总会有很多的思考与体会，现在我打算从头讲起与你们分享学生的一些拙见.先来基础的热身，因为它将很大程度上改变对这些基础知识其本身及Taylor公式的看法，从低起点出发便会从高观点来看一些事物，学生是这样认为
2、的，所以在论文（或者学习笔记更为恰当）中也是这样做的第一部分预备知识n【1】我们来计算a（kp-（k-1）p）.k=1这和式表示(1p-0p)+(2p-1p)+L+(np-(n-1)p).因而n(kp-(k-1)p)=npk=1由此做出以下讨论【2】我们有恒等式【2】我们有恒等式k2-(k-1)22k一1对于k=1,2，,n,将相应的恒等式加起来，我们得到nnn(k2-(k2k八1,kNkNkNn2n二2Xk-n,1nk二1n21nn(n1)k=1222我们得到了熟悉的公式n(n1)【3】由恒等式k3_(k-1=3k23k1可得(k3(k1)3)=k=13k2k=13kk=1n3n3k=1k2
3、k2n3n2k=1类似地,k4(k1f4k3n(n1)(2n1)6k24k_1可得n-(kT)=4k3k=14、k=1k3(2n33n2n)2(n2n)-nk=1n(n+1)2采用类似的推理方式，利用数学归纳法可以证明以下结论:、kP可以表示成n的p+1次多项式，其最高项系数为k=1，常数项、kp二k=1对于给定的丄np1cinp1p,上面公式中的系数c1,Lc2np1Lcpn.当然都可以具体求出.鉴于本论文所需，我们这里不再作深入的讨论了【5】设有这样一个曲线图形，它由曲线y二xp，OX轴和直线x=b围成，我们来求这个图形的面积.我们把OX轴上的闭区间I0,b分成n等份，其中第n个等份是k_
4、1b,kb-nn相应的把曲线把上述曲线图形分成n个等宽的条形k_Vkpbxb,0空y空xp,k=1,2,L,n.nn每一条形的面积q介于两矩形条之间：（b）p和（-b）pb.nnnn我们可以把矩形条之和J（9b）p.2与J（兰b）p-当做曲线图形面积S的近似心nn心nn值.所分成的矩形条越细，这样的近似度就越高事实上，我们有p/n:（kb）p-=嗒：就=粤（4+诃+汕+1_+qn）廿已+9+L心nnn心np1p1nCpp/nk-1pbbpnpbp1p11g-1（b）=丽kb（-Lknnnznp1nb.这共同的极限应该看做所求的p+1-p1bS二巴这里，我们记和式的极限为f（x）dx.P+1a面
5、积S.这样我们求得当n无线增大时上面两个和数趋于共同的极限值p1xc=xpL（1）所以我们有p1（|丿在热身将结束前，我们给出一个重要的积分式1dxL(2)1dxL(2)1这里我们认为Inx+c是1在区间（0,x+x）的标准原函数表示（微积分学教程（第二卷）第263目注36）有了上述铺垫，下面，我们进入Taylor公式的讨论.第二部分Taylor公式的讨论牛顿曾说过，“微分即是把非线性的函数以线性映射代之”（古今数学思想第二卷），而“数学是模式的科学”（在云大谭建国教授所开设课程“数学文化”中所得，学生认为很是经典），所以我们的任务是要找到把一个非线性函数用一个较为简单的一元多项式替之（学生知
6、识面较窄，只能讨论一元微积分学的内容，这在论文之首便是表明的）的宽泛算法.对于其探究过程的方法的讨论，我们可以由科学方法论的知识清楚地知道，这两者之间我们必然要定义一个联系.如对任意一个函数f,和一个一元多项式g,我们可以这样描述它们的关系（如是，我们有了以下的讨论，不过这只是方法之一）探究道路一定义对在X。的某领域有定义的任意一个函数f,和一个一元多项式g，其中f，g存在n阶导数，那么我们称多项式g为函数f的n阶近似，当（1）f与g在x处函数值相等（2）f的k阶导数与g的k阶导数在x处函数值相等（k=1,2,n）（该定义为学生自己做的，与其说是做，不如说只是把课本上的定义过程进行抽象化与模式
7、化，见笑，毕竟学生才疏学浅，如逻辑上有错误之处还望老师指出）有了这个定义后，我们就可以把g拟合f的程度量度化，即自然数n的大小.可上述讨论中，拟合程度只是基于那些来拟合的一元多项式函数g1,g2,L,gn（只不过是建立在一元n次多项式环的精确度上）作比较，而没有与被拟合的函数f本身作比较，这样的比较是较为空泛的，是不怎么可靠的，所以我们引入相对误差的慨念，有了它之后，我们可以依据微分中值定理（1.本身g就是为对f实行导数的方法所筛定的2.这里我们已经认为f与g为等价，只不过是建立在一元n次多项式环的精确度上，这是做差再除以x0的想法是自然的）得到其相对误差，并称其对应的绝对误差为“拟合余项”.
8、鉴于该思路与高教社数学分析的思路是一样的，余下的应该有的或之前的讨论的补充就由该书来完成.之前，我们是通过定义两者之间的联系来讨论的，下面，我们将从两者各自本身出发，研究其间关系探究道路二【6】先考虑如下等比级数求和，并由高中知识，不难得出21ppLpn11-p可以看出，当-1乞pp1，n-厂：时,也就是说，无穷幕级数之和的函数在1-p等式右边变为1-p1i-1,1上与函数1一是等价的，即=1+1-p所以，由式（1）p2Lp1-1,1ln(1-p)二(1p2LpnL)所以ln(1p)=所以，我们可以说（P|n2=T1n其中p!-1,1(-1n其中p-1,113这是多么美丽而又对称的式子，【7】
9、下面，我们来考察指数函数.我们知道自然对数e是这样定义的4数学是美丽的科学，是为人惊叹的科学!2k2k1e=lim(1丄)GTa,Xi1所以x1所以xln(x1)-InaIn(1丄)厂aXa1设z-1,那么XzlimIn(1)=Inlim(1)aaaa即ez二lim(1)OtTOt由牛顿二项展开式（这里底数取值范围非常接近1，故可用牛顿二项式展开）z2z2二(1-二)L-(1-)(12)L(1一nn2!nn!2.“)丄n当n趋于时,如下当n趋于时,如下1-0，所以，代入上式，并以nX代乙我们得到了重要的展开公式,2!2!o(xn)L(3)特别的，当X=1时2!3!【8】记x=cosvisinr
10、,则由复数的知识(4)(4)coanisinn(5)由(3)e式,cosisinxie2xxi2!(ix)2n!i(x-L3!2n1x(2n1)!-(1-L2!4(2n)!=isinx+cosx所以，实部对实部，虚部对虚部，即得sinx=A3!(1)n(2n1)!2n1x+/2n+1o(x)x+2!第三部分一元微分学在一些个别案列中算法的简化cosx二n(2n)!o(x2n)在一些应用问题中，往往会遇到如下情况：根据题意我们得到一个关于未知量的函数f,需要求出在f某一实际范围内的最大值或者最小值（如最大收益额，最小耗材等）这时我们往往是通过求其一阶导数（甚至有时还要求出二阶导数）研究其值的增长
11、或递减性，而得出结果这是比较麻烦的但学生虽解题不多，但在解题过后，发现，其中有些案列是不需要求导直接可看出结果的，比如【9】（高教社数学分析第三版226页11题）做一个圆柱形锅炉，已知其体积为V,两端面材料的每单位面积价格为a元，侧面材料的每单位面积价格为b元，问锅炉的直径与高的比等于多少时，造价最省?解：记直径为d,高为h,造价为s,则b二dhd2h所以由AM-GM不等式，得d2d2bdh其中，等号当且仅当ad2=bdh?即时，等式成立ha至此，漂亮地给出了该题的解法.还有如下的题目也可以类似处理【10】(高教社数学分析第三版227页19题)22椭圆笃爲=1的切线与两坐标轴分别交于A,B两点
12、，a2b2(1) 求AB两点间距离的最小值；(2) 求厶OAB勺最小面积.解：记切点为p(x0,y0)根据题意，可得A(,0),B(0,).这些过程太简单，略去.xoy。那么，AB|=帚叵=2好+a2y2)(aX0y0abX0其中，等号当且仅当ad2=bdh?即时，等式成立ha至此，漂亮地给出了该题的解法.还有如下的题目也可以类似处理【10】(高教社数学分析第三版227页19题)22椭圆笃爲=1的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，a2b2(3) 求AB两点间距离的最小值；(4) 求厶OAB勺最小面积.解：记切点为p(x0,y0)根据题意，可得A(,0),B(0,).这些过程太简单，略去.xoy
13、。那么，AB|=帚叵=2好+a2y2)(aX0y0abX0i)L(4)y。再由Cauchy不等式，可得(4)式右端ab42aXo+2Xo2ayb42yo二Pa2b2等号当且仅当22bXo4a_2Xoyob42yoXoyob3ab，y时等号成立.ab对于第二问，AM-GM不等式便直接给出了答案，不在赘述.参考文献1 数学分析新讲，张筑生编著，北京大学出版社，199o年1月第一版，2oi2.2 微积分学教程，菲赤金哥尔茨，高教社，2oo6年1月第二版，2oo9.3 数学分析讲义，陈天权编著，北京大学出版社，2oo9年8月第一版，2oo9.4 数学分析，欧阳光中等编，高教社，2oo7年4月第三版，2o12.古今数学思想，M.克莱因著，上海科学技术出版社，2oo9.微积分和数学分析引论，R.柯朗，科学出版社，1982.7Whatismathematics?R.柯朗,H.罗宾，I.斯图尔特著，复旦大学出版社，2012.
