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1、第七章无穷级数第一节常数项级数1.概念与性质=lim Snn_.od（1）定义：v Unn 4（2）性质oOoo1 ）若7 un和7 Vn分别收敛于S, cn 4n =1，则v （Un _ Vn）收敛于S二匚. n丄2）改变级数前有限项不影响级数的敛散性3）收敛级数加括号仍收敛且和不变.oO4）7 un收敛n 42.判敛准则cd（i）正项级数（、 un, un _ 0）n i oo基本定理：v un收敛：二Sn上有界。n =11）比较判别法:设Un空Vn，则QOn dQO收敛二.、un收敛.n 二cO、Unn =1oO发散二. vn发散.2）比较法极限形式：设 lim Un =1（0 _| _
2、：）n匸vnQOQO若0 ：丨：:：,则二：un与二vn同敛散.n壬n T二un收敛，二un发散=、vn发散. n #nn zi0若丨=0,则工vn收敛二n T若丨=：,则7 vn发散二.、un发散，、 Un收敛=、Vn收敛nnn#nTu:收敛，3）比值法:设lim Un 1二二则un发散， J 1, nUn7 不一定,- =1,旳收敛,p1,n*I心l不一定，p=1,cQ交错级数(V (_1)n%n,Un 0)n 4莱不尼兹准则：若：（1） Un单调减；（2）lim Un 二 0,n ：cdn 1则V ( -1)Un收敛.n -AoO任意项级数（V Un , Un为任意实数）n i1）绝对收
3、敛与条件收敛概念2）绝对收敛和条件收敛的基本结论绝对收敛的级数一定收敛，即V |Un |收敛二. Un收敛.n 4n T条件收敛收敛的级数的所有正项 （或负项）构成的级数一定发散OJQJ+ IIQJII即：、Un条件收敛=、Un |Un 1和7 Un |Un 1发散.n =1n ：!2nd2题型一正项级数敛散性的判定例7.1判定下列级数的敛散性.1)QOZn丑na n z 、 市(a 0)；2):n .、.a n!-nn t n(a 0)3)0r(1 COS)；4)oO、(，n 1-n)p ln(1)n =1nn dn解1）n |nalim n Un = lima，则nn 1（1）当0 ： a
4、 ： 1时，原级数收敛；(3)当 a =1 时，lim Un =lim ( n ) n 护n Y n +11 = 0，原级数发散。e2)lim 哑=lim apn ： Un n： (1)nna n!二 a lim ( )（i）当0 : a : e时，原级数收敛;(2)当a - e时，原级数发散;(3)当 a =e时，lim Un- = lim F Unen .1 n(1)nnUn 1Une1 (1 n3）由于14）由于n_ n 1=1，但（1）n是单调增趋于e的，则 n1，即un单调增，又un 0，则lim un = 0，原级数发散。n_cJjT 1 兀.-cos 2 (n J )，而二n 2
5、 nnm1 收敛,2n则原级数收敛AAtln(1 ) (n )，而(n 1 - n)pn1 1 一1n12nJ0 1则原级数与级数-41 七-n 2同敛散，故原级数在 p - 0时收敛,p乞0时发散。例7.2判定下列级数敛散性.O01）、n壬dx2)1n1-1_ln(1解1）由于0 :10nx?dx1时，原级数绝对收敛.2)当Oca 1时收敛，p : 1时发散.n生n卩1,原级数为(7nn Anp该级数在p-1时绝对收敛；在0 ： p-1时条件收敛，在 p _ 0时发散.例7.9设常数QOk - 0,则级数 v ( -1)nn =1(A)发散;(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D) 敛散与发散与k取值有关.解Jn绝对收敛n ：!n显然JO) 2 n T n旳(_1)n，而条件收敛，则原级数条件收敛,nm n故应选(c).| a |7.10设常数丸0，且级数g a2收敛，则级数(1)n ,nnnnJ Jn 2+扎(A)发散；(B)条件收敛;(C)绝对收敛；(D)敛散性与有关.2 2解由不等式2ab _ a b知oa
