黄金分割法进退法原理及流程图

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1、1黄金分割法的优化问题(1)黄金分割法基本思绪:黄金分割法合用于a,b区间上的任何单股函数求极小值问题,对函数除规定“单谷”外不做其他规定,甚至可以不连续。因此,这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜索区间a,b内适当插入两点a1,a2,并计算其函数值。a1,a2将区间提成三段,应用函数的单谷性质,通过函数值大小的比较,删去其中一段,是搜索区间得以缩小。然后再在保存下来的区间上作同样的解决,如此迭代下去,是搜索区间无限缩小,从而得到极小点的数值近似解。(2) 黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一,其解法思想为沿某一已知方向求目的函数的

2、极小值点。一维搜索的解法很多,这里重要采用黄金分割法(0.618法)。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率,从而可以当作是斐波那契法的近似,实现起来比较容易,也易于人们所接受。 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间a,b内搜索极小点*的一种方法。它是优化计算中的经典算法,以算法简朴、收敛速度均匀、效果较好而著称,是许多优化算法的基础,但它只合用于一维区间上的凸函数6,即只在单峰区间内才干进行一维寻优,其收敛效率较低。其基本原理是:依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间7。具体环节是:在区间a,b内取点:a1 ,a2 把a,b分为

3、三段。假如f(a1)f(a2),令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a);假如f(a1)=y2a1=b-r*(b-a) y1=f(a1)a2=a+r*(b-a) y2=f(a2)否是(b-a)/b和 (y2-y1)/y2?否是#include math.h #include stdio.h #define f(x) x*x+2*xdouble calc(double *a,double *b,double e,int *n) double x1,x2,s; if(fabs(*b-*a)f(x2) *a=x1; else *b=x2; *n=*n+1; s=calc(a,b,e,n);

4、return s; main() double s,a,b,e; int n=0; scanf(%lf %lf %lf,&a,&b,&e); s=calc(&a,&b,e,&n); printf(a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%dn,a,b,s,n); 5 程序运营结果如下图:2进退法 (1)算法原理进退法是用来拟定搜索区间(包含极小值点的区间)的算法,其理论依据是:为单谷函数(只有一个极值点),且为其极小值点的一个搜索区间,对于任意,假如,则为极小值的搜索区间,假如,则为极小值的搜索区间。因此,在给定初始点,及初始搜索步长的情况下,一方面以初始步长向前搜索一步,计算。(1) 假如则

5、可知搜索区间为,其中待求,为拟定,后退一步计算,为缩小系数,且,直接找到合适的,使得,从而拟定搜索区间。(2) 假如则可知搜索区间为,其中待求,为拟定,前进一步计算,为放大系数,且,知道找到合适的,使得,从而拟定搜索区间。进退法求极值基本思想: 对f(x)任选一个初始点x1及初始步长h0, 通过比较这两点函数值的大小,拟定第三点位置,比较这三点的函数值大小,拟定是否为 “高低高” 形态。算法原理1.试探搜索: 选定初始点x1, x2= x1+ h0,计算 y1f(x1), y2f(x2) (a)如y1y2,转2向右前进; (b)如y1y2, 转3向左后退;图8.12.前进搜索 加大步长 h2

6、h ,产生新点x3= x2+ 2h0 ;(a)如y2y3, 令x1=x2 ,y1=y2 ; x2=x3 ,y2=y3 ; h=2h 重新构造新点x3=x2+h,并比较y2、y3的大小,直到y2y3。 图8.23.后退搜索 令 h-h0 ,令x3=x1 ,y3=y1 ;x1=x2 ,y1=y2 ;x2=x3 ,y2=y3 ;h=2h;产生新点x3= x2+ h ; (a)如y2y3, 令x1=x2 ,y1=y2 ; x2=x3 ,y2=y3 ;h=2h重新构造新点x3=x2+h,并比较y2、y3的大小,直到y2y3。令a= x1,b= x3,搜索区间为a,b ; 图8.3(2)算法环节用进退法求

7、一维无约束问题的搜索区间(包含极小值点的区间)的基本算法环节如下:(1) 给定初始点,初始步长,令,;(2) 令,置;(3) 若,则转环节(4),否则转环节(5);(4) 令,令,转环节(2);(5) 若,则转环节(6)否则转环节(7);(6) 令,转环节(2);(7) 令,停止计算,极小值点包含于区间(3)算法的MATLAB实现在MATLAB中编程实现的进退函数为:功能:用进退法求解一维函数的极值区间。调用格式:其中,:目的函数; :初始点; :初始步长; :精度; :目的函数取包含极值的区间左端点; :目的函数取包含极值的区间又端点。进退法的MATLAB程序代码如下:function mi

8、nx,maxx=minJT(f,x0,h0,eps)%目的函数:f;%初始点:x0;%初始步长:h0;%精度:eps;%目的函数取包含极值的区间左端点:minx;%目的函数取包含极值的区间又端点:maxx;format long;if nargin=3 eps=1.0e-6;endx1=x0;k=0;h=h0;while 1 x4=x1+h; %试探步 k=k+1; f4=subs(f,findsym(f),x4); f1=subs(f,findsym(f),x1); if f4f1 x2=x1; x1=x4; f2=f1; f1=f4; h=2*h; %加大步长 else if k=1 h=-h; %反向搜索 x2=x4; f2=f4; else x3=x2; x2=x1; x1=x4; break; end endendminx=min(x1,x3);maxx=x1+x3-minx;format short;流程图如下:

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