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1、第2讲圆周角定理与圆的切线【2013年高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用.【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法1A 1 KAOJIiZIZHUDAOXUE01考基自主导学基础梳理1. 圆周角定理圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一(3)圆周角定理的推论 同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 半圆(或直径)所对的圆周角是90 90。的圆周角所对的弦是直径.2. 圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个 数直线到圆心的
2、距离d与圆的半径r的关 系相交两个dv r相切个d = r相离无d r 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相一3.弦切角弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角.I）解析 连接 OB、OC,贝 U OB AB, OCX AC, : / BOC= 180 /BAC= 100A/ BDC = 2/BOC= 50答案50 3. （2011广州测试（一）如图所示，CD是圆O的切线，切点为C, 点A、B在圆O上，BC= 1,/ BCD= 30则圆O的面积为.解析连接OC, OB,
3、依题意得，/ COB= 2/ CAB = 2/BCD =60 又 OB = OC,因此 BOC是等边三角形，OB= OC= BC = 1,即圆O的半径为1,所以圆O的面积为nX12= n.答案n4. （2011深圳二次调研）如图，直角三角形ABC中，/ B= 90AB= 4,以BC为直径的圆交AC边于点D, AD = 2,则/C的大o（2）弦切角定理及推论定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相双基自测1 如图所示， ABC 中，/ C = 90 AB= 10, AC = 6,以 AC 为直径的圆与斜边交于点P,则BP长为
4、.B解析 连接CP.由推论2知/ CPA= 90即CP AB，由射影定 理知，AC2=AP AB.A AP= 3.6,二 BP= ABAP = 64 答案 6.4 2如图所示，AB、AC 是。O 的 两条切线，切点分别为B、C, D是优弧BC上的点，已知/ BAC= 80那么/BDC =即解析 连接 BD,则有/ ADB = 90.在 RtAABD 中，AB= 4, AD= 2,所以/ A=60 在 RtAABC 中，/ A= 60 于是有/ C = 30答案30AP = 2晶所以/ AOP则圆O的直径为=60因为PA切圆Oc5. （2011汕头调研）如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O
5、上过点P的切 线PA相交于点A,若/ M = 30解析连接OP，因为/ M = 30 于P，所以AP2A/3OP AP，在叱ad。中，。=寸ao p= tan丽y故圆。的直径为4.答案4研析琴向！秦例奕破0 *CAOXiANGTANJIUID*XI析考向一圆周角的计算与证明【例1】？（2011中山模拟）如图，AB为。O的直径，弦AC、BD交于点P,若AB=3, CD= 1,贝 U sin/APB =审题视点连结AD, BC,结合正弦定理求解.解析连接AD, BC.因为AB是圆O的直径，所以/ ADB=Z ACB = 90 snADABD 二 ABn/ABDD 二 ab=3, 又 CD 二，所以
6、曲DAC=前/DAP=3CD _ AD sin/DAC sin/ ACD又/ ACD = /ABD，所以在么ACD中，由正弦定理得:所以 cos/ DAP _又 sin/ APB_ sin (90 +/ DAP)_ cos/ DAP_ | 2.y”解决本题的关键是寻找/ APB与/ DAP的关系以及AD与AB的关系.【训练1】如图，点A, B, C是圆0上的点，且AB= 4,/ ACB= 30则圆0的面积等于解析 连接AO, OB.因为/ ACB= 30所以/ AOB = 60 AOB为等边三角形, 故圆O的半径r = OA= AB= 4,圆O的面积S= n2= 16 n.答案16 n考向二弦
7、切角定理及推论的应用【例2】？如图，梯形ABCD内接于。O, AD/ BC,过B引。0的切线分别交DA、CA的延长线于f 知BC = 8 CD-5, AF_6,贝U EF的长为E、审题视点先证明 EABsAABC,再由AE/ BC及AB _ CD等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解.解析 T BE 切 O O 于 B,a/ ABE=Z ACB.又 AD BC,a/ EAB=Z ABC,BE AB EA” ABC, : AC BC.F BE AB_ EF BC_ 又 AE/ bc,： aF _ AC,AF.又 AD / BC, : AB _ CD需5 二 EF:ab_ CD，: Sb ,8
8、二6,:EF_30_ 215答案1（2）（1）圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从 而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小.（2）涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线（或半 径）或向弦（弧）两端画圆周角或作弦切角.【训练21（2010新课标全国）如图，已知圆上的弧 瓜C =而，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1) Z ACE=Z BCD；(2) BC2 = BEX CD.证明（1）因为AC = BD，所以/ BCD = / ABC.又因为EC与圆相切于点C,故/ ACE=Z ABC，所以/ ACE=Z BCD.因为/ ECB
9、=Z CDB，/ EBC=Z BCD，所以 BDCECB，故器=CC，即 BC2二 BEX CD.KAQTUHUANXIANIGTUPO -从一+ 一 -一 “十心-一 “一-十一。w + 一 -03苏考题专项突破老题展应名肺蕨读高考中几何证明选讲问题（二）从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并 且 多以填空题的形式出现.【示例】？（2011天津卷）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F， E是AB延长线上一点，且DF=CF=2, AF : FB : BE= 4 : 2 : 1.若CE与圆相切，则线 段CE的长为建砂关键句：弦八“与匕“相交八穴与圆相切I篷相交弦定理及切割线定理设 AF=m,由 AF - FB= J）F - FT,得/ = ，再由（求衍）=EX EA = ； r 7： r=，得 CE = 4Z| :在便用相交弦定理与切割线定理求线段的长度命高一时，要 注意方程思想的应用即把所求的量看做由逻妙f切割线定理得 到的方程中的未知呈，通过解方程 求解这个未知量
