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1、万有引力定律及其应用、万有引力定律：(1687年)适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量(1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出)G = 6.67 x 10-11N - m2 /kg 2二、万有引力定律的应用1. 解题的相关知识：(1) 在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向Mmv 24 兀 2心力来源于天体之间的万有引力，即G=m =mr二mw 2r ；二是地球对物r 2r 2T 2mM小体的万有引力近似等于物体的重力，即G=mg从而得出GM= R2g。R 2 2 兀(2) 圆周运动的有关公式：w =亍，v= wr。讨论
2、：由GMm = m 可得：v = GM r越大，v越小。 r 2r 2V rr越大,e越小。小Mm由G= mw 2r可得:r 2r可得:r越大，T越大。Mm由G= mr 2小Mm由G = ma可得：a = r 2向向 r 2GM、r越大，a向越小。2. 常见题型万有引力定律的应用主要涉及几个方面:（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）/ 2 丫 r4兀 2 r 3GT 23兀r 3GT 2 R 3【例1】到它的自转周期为T= 3o s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可
3、视为均匀球体。（引力常数G=6.67 x 10 -11 m 3/kg.s 2 )（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）表面重力加速度:小 MmGM丁 匸=mg o g 0 二花轨道重力加速度:GMmGMIRR = mgh愛弋血【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质 量M与卫星的质量m之比M/m=81,行星的半径R0与卫星的半径R之比RjR=3.6，行星 与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R=60。设卫星表面的重力加速度为g,则在卫GMm星表面有=mgr 2经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1
4、/3600o上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。（3）人造卫星、宇宙速度：人造卫星分类（略）：其中重点了解同步卫星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别）【例3】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一 号”是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h； “二号”是地球同步 卫星。两颗卫星相比号离地面较高；号观察范围较大；号运行速度较大。 若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻 将是 o【例4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（）A、与地球表面上某一纬度线（非赤
5、道）是共面的同心圆B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是运动的D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是静止的【例5】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h， 要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过 赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R， 地面处的重力加速度为g,地球自转的周期为T。【例6】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ）A. 它们的质量可能不同B.它们的速度可能不同C.它
6、们的向心加速度可能不同D.它们离地心的距离可能不同a 2 b 2 c【例7】地球同步卫星到地心的距离r可由r3 = 求出，已知式中a的单位是m,4兀2b的单位是s, c的单位是m/s2,贝I：A. a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度；B. a是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度；C. a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度D. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。【例8】我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入 预定轨道，飞船绕地球遨游太空t=7天后又顺利返回地面。
7、飞船在运动过程中进行了预定 的空间科学实验，获得圆满成功。 设飞船轨道离地高度为力，地球半径为尺，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船 绕地球正常运转多少圈?（用给定字母表示） 若h = 600 km， R=6400 km,则圈数为多少？O（4）双星问题：【例9】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期 相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R,其运动周期为八求两星的总质量。（5）有关航天问题的分析：【例10】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H=3. 4xi05m的圆轨道上运行了 47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R=6.37xi06m,重力
8、加速度g=9.8m/s2）【例11】2003年10月16日北京时间6时34分，中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟” 五号飞船在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。中国由此 成为世界上继俄、美之后第三个有能力将航天员送上太空的国家。据报道，中国首位航天员 杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北京时间十月十五日九时，在酒泉卫星发射中心用 “长征二号F”型运载火箭发射升空。此后，飞船按照预定轨道环绕地球十四圈，在太空飞 行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高度约为340千米，已 知万有引力常量为G=6.67X 10-H牛米2/千克2,地球半径约为6400
9、千米，且地球可视为 均匀球体，则试根据以上条件估算地球的密度。（结果保留1位有效数学）（6）天体问题为背景的信息给予题【例12】地球质量为M,半径为R,自转角速度为。万有引力恒量为G,如果规定 物体在离地球无穷远处势能为0,则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势厂Mm能可表示为E =-G。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层pr上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验。设空间站离地面 高度为力，如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星 轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？【例13】
10、1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Planck学会的一个 研究组宣布了他们的研究成果:银河系的中心可能存在大黑洞，他们的根据是用口径为3.5m 的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得的数据。他们发 现，距离银河系中约60亿千米的星体正以2000km/s的速度围绕银河系中心旋转。根据上面 数据，试在经典力学的范围内（见提示2）通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的 话，其最大半径是多少？（引力常数是G=6.67X 10-20km3 kg-1s-2）1. 利用下列哪组数据，可以计算出地球质量：（）A. 已知地球半径和地面重力加速度B. 已知
11、卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期C. 已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量D. 已知同步卫星离地面高度和地球自转周期2. “探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现人、B两颗天体各有一颗靠近表 面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是A. 天体人、B表面的重力加速度与它们的半径成正比B. 两颗卫星的线速度一定相等C. 天体A、B的质量可能相等D. 天体A、B的密度一定相等3. 已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度 为A. 2 2 km/sB. 4 km/sC. 4、：2 km/sD. 8 km/s4. 探测器探测到土
12、星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群， 可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定A. 若yxR,则该环是土星的一部分B. 若V2XR,则该环是土星的卫星群C. 若v*1/R,则该环是土星的一部分D. 若v2*i/R，则该环是土星的卫星群5. 2002年12月30日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空， 按预定计划在太空飞行了 6天零18个小时，环绕地球108圈后，在内蒙古中部地区准确着 陆，圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚实基础若地球的 质量、半径和引力常量G均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四号
13、飞船的A.离地高度B.环绕速度C.发射速度D.所受的向心力6. 航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件.1998年1月发射的“月球勘探者 号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及 元素测定等方面取得最新成果探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重 力异常区域时A. 探测器受到的月球对它的万有引力将变大B. 探测器运行的轨道半径将变大C. 探测器飞行的速率将变大D. 探测器飞行的速率将变小1解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体 所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为P，质量为M，半径为尺，
14、自转角速度为，位于赤道处的小物块 亠 GMm2 兀4 c质量为m,则有=m 2R M -兀R3pR 2T33兀由以上各式得P ，代入数据解得：P 1.27x 1014kg/m3。GT 22解析：题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀 速圆周运动的向心加速度。正确的解法是Gm一 GM/R、 m g卫星表面=g 行星表面=g0 即（-才）2=-R2R 20 R M g0 0即 g =O.16g0。3解析：根据周期公式T= 2兀 4知，高度越大，周期越大，则“风云二号”气象卫十GM星离地面较高；根据运行轨道的特点知，“风云一号”观察范围较大；根据运行速度公式 V= ：知
15、，高度越小，速度越大，则“风云一号”运行速度较大，由于“风云一号”卫r星的周期是12h,每天能对同一地区进行两次观测，在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度 的地方时时间保持不变。则下一次它通过该城市上空的时刻将是第二天上午8点。4解析：卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供且万有引力始终指向地心，因此卫星 的轨道不可能与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆，故A是错误的。由于地 球在不停的自转，即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆，故B 是错误的。赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外，其它卫星相对地球表面都是运动 的，故C、D是正确的。5解析：如果周期是12小时，每天能对同一地区进行两次观测。如果周期是6小时， 每天能对同一纬度的地方进行四次观测。如果周期是寺小时，每天能对同一纬度的地方进n行n次观测。Mm4兀 2（h + R）设上星运行周期为人，则有Gm
