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1、 专题8.5:立体几何中折叠问题的研究与拓展 ABCDEF【课本溯源】如图,E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点,沿图中虚线折起来,它能围成怎样的几何体?EAFP平面图形通过折叠变为立体图形,就在图形发生变化的过程中,折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化,我们称其为“不变量”求解立体几何中的折叠问题,抓住“不变量”是关键【问题提出】问题1:折叠前后哪些线段的长度没有变化由E、F为边BC、CD的中点可知,折叠前后BE、EC、CF、FD长度不变,从而折叠后B、C、D重合于一点P,得到三棱锥P-AEF问题2:折叠前后哪些角度没有变化由ABCD为正方形可知,折叠前B=C=D=90,而折
2、叠后APE=APF=EPF=90保持不变【探究拓展】探究1:ABCDABCEED 已知矩形ABCD中,AB=2AD=4,E为CD的中点,沿AE将AED折起,使DB=2,O、H分别为AE、AB的中点,求证:(1)直线OH/面BDE;(2)面ADE面ABCE 探究2:如图(1),等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,DEAB于E,现将ADE沿DE折起到PDE的位置(如图(2)(1)求证:PBDE;(2)若PEBE,直线PD与平面PBC所成的角为30,求PE长来源:Zxxk.Com探究3:ABCDABCEFDF如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为线段EC
3、(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABC在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足设AK=t,则t的取值范围是 探究4:如图,矩形,满足在上,在上,且,且,沿、将矩形折起成为一个直三棱柱,使与、与重合后分别记为、,如图在直三棱柱中,点分别为、和的中点证明:(1)平面;(2)图图图证明:(1)连结,因为分别为和的中点,所以,又平面,平面,所以平面 (2)连结,因为,所以,设,则,由是的中点,是的中点,所以,所以,所以 因为,所以,在直三棱柱中,平面平面,平面平面,所以平面,因为平面,所以因为,平面,平面,所以平面,因为平面,所以 探究5:矩形中,点为线段上的一点,现沿虚线将
4、折起,使得平面,过点作线段的垂线,垂足为点,则函数的最大值为_ 探究6:ABCDEABCDEFP如图,等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=AD,ABC=60,E是BC的中点将ABE沿AE折起,使二面角B-AE-C成直二面角,连结BC,BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点(1)求证:AEBD;(2)求证:平面PEF平面AECD;(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由FBDAFBDMEECAC变式:如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABAD,且AB=AD=CD=1现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF平面ABCD,M为ED的中点(1)求证:AM/平面BEC;(2)求证:BC平面BDE;(3)求点D到平面BEC的距离【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?