泛函分析考试试卷自制试卷

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1、泛函分析考试试卷自制试卷 泛函分析考试试卷一、选择题。 1、下列说法不正确的是( )、 维欧式空间n 是可分空间 B、 全体有理数集为 的可数稠密子集、l 是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的 答案：D 2、设T是度量空间(X,d)到度量空间(Y，d）的映射，那么T在x0连续的充要条件是( )A、 当xnx（）时,必有xnT0(n）、当nx(n)时,必有Txxn(n)C、当x0xn（n)时，必有TxnTx0(n)D、当xnx0（0）时,必有Tnx0(n0) 答案: 3、在度量空间中有（ ）A、 柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B、 柯西点列一定收敛，而且

2、每一个收敛点列是柯西点列C、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D、 柯西点列不一定收敛,但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案： 4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( )A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间、Lpa,b（p1)是巴拿赫空间C、空间p是巴拿赫空间D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案:D 5、 下列对共轭算子性质描述错误的是（ ）A、（A+B)*=*B*; B、（A)*=* C、当=Y时，(A）B*A* D、(）* 答案:B二、 填空题 、度量空间X到中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集M为 。 答案：原像T-1M是X中的开集 、设T是赋

3、范线性空间到赋范线性空间Y中的线性算子，则为有界算子的充要条件是是X上的 。 答案：连续算子。 、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么=0的充要条件是对一切xX有 。 答案:（x,x）0 4、有界线性算子T的共轭算子T也是有界线性算子，并且 。 答案:= 5、设n是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果f在X的每点处有界，那么fn 。 答案:一致有界三、 判断题 1、自伴算子一定为正常算子,正常算子不一定是自伴算子。（ ) 2、设1和T2是希尔伯特空间X上两个自伴算子,则T*2自伴的充要条件是T*T=T2。( ） 3、强收敛必定弱收敛,弱收敛必定强收敛。( ） 4、设X和Y都是巴拿赫空间，如果是从X

4、到上的一对一有界线性算子，则的逆算子T-1不是有界线性算子。（ ) 5、无界算子不是闭算子。（ ）四、证明题 . 设X 是赋范线性空间, f 是上连续线性泛函, 证明 f 的零空间 ( f ）是 X 中闭子空间证明:对任何 x, y N ( ), 及任何 a,bf (a x + by) =a f （x) +b f (y) = 0 所以 a x + by N （f ) 所以N (f)是线性空间.又设 n N ( f ), 且 x n x , 由 连续 f(x）= lmn (x n) = 0 所以x N ( f ).所以 ( ) 是闭集 . 设 X 是赋范空间,A， B B (X X)是X上正则算

5、子, 证明 T =A 是X上正则算子.证 A， B是正则算子, 所以A - 1， B-1 存在, 且 A- 1, - 1 B （X ） 令 =B - 1A - B (X X)， 则S T = - A -1 AB = , AB -1A- 1= I 所以 S = T - 1,所以 T是正则算子. . 设是实内积空间,A是H上自伴算子, 证明A=0 的充分必要条件是对所有 H, A x, x = 证明 必要性: A x, x =, x= 0, x H. 充分性: 对任意 x，y H 0 = (x + y), x + y = Ax， x+ A x, y + y, + A y， y = x,y+ A y

6、, 由 T是自伴算子 A ，x = y,A =A, y , 所以 2 A ,y= , y H 所以 x= 0 x 所以 A= 0. 4、证明：是可分空间。解:考虑集合,即是由至多有限个坐标不为0，且坐标都是有理数的元素构成。因此,是可数集。对于，有,所以，当时，有有理数的稠密性，可取得,使得令。且即在中稠密。依定义知是可分的。5、设是内积空间,则当，时,即内积关于两变元连续。解:是内积空间,设是由其内积导出的范数,由于,所以，使得当时均有和同时由于,故知有界，所以有限。因此可取因此故，即五、计算题 1、在实数轴上，令,当为何值时,是度量空间,为何值时，是赋范空间。解:若是度量空间，所以，必须有：成立即，取，有，所以，若是赋范空间，所以,必须有:成立，即，当时,若是度量空间,时,若是赋范空间。