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1、圆锥曲线光学性质的证明及应用初探一、圆锥曲线的光学性质1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；（见图椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在F,处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。证明：由导数可得切线I的斜率kyxxJxx0b2Xo2ayo，而PFi的斜率ki,PF?的斜率k2XoCXoC-I到PFi所成的角满足tan-I到PFi所成的角满足tan2y。bx。kikX。ca2y。1kki1bXy。12Xocay。22222ay。bXobex。-2722abxy。
2、acy。QPx）,y。在椭圆上，tan,同理，PF2到I所成的角满足taney。kk21kk2b2ey。tantan，而，。,一,21.2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；（见图.双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用.1.3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，
3、并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果.最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的.图图图要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线I与曲线C交
4、于P,Q两点，当直线I连续变动时，P,Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P,Q重合为一点M,此时直线I称为曲线c在点M处的切线，过M与直线I垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化:圆锥曲线光学性质的证明预备定理1.若预备定理1.若2X点P(x),yo)是椭圆飞a2吉1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：XoX2ayy1。证明:2b2(1笃)a,1当a时，过点P的切线斜率b2k一定存在，且ky|xxo，对式求导：2yyx,a点而当y|xxob2xo2ayo,切线方程为y。-(xXo),ayoP(Xo,yo)在椭圆2Xoa2卑1，代入得bXoX2
5、a里1,bXa时，yo切线方程为a，也满足式，故智ayoyb21是椭圆过点P(xo,yo)的切线方程.预备定理2.若点P(Xo,yo)是双曲线2x2a2y21上任一点，则双曲线过该点的切线方程为:b2XX2aVoV1眉1证明:2x2a1当a时,过点P的切线斜率k一定存在，且ky|xxo,对式求导：2yyylxxo警，切线方程为yayoyo字(xXo),ayo点P(xo,yo)在双曲线2X22y21上，故2Xo-Taba而当xa时，y0切线方程为XP(xo,yo)的切线方程2卑1代入得b2XoX2ayoyb21，a，也满足式，故XoXyoy1是双曲线过点2ab2预备定理3.若点P(Xo,y)是抛
6、物线y2yyp(xXo)证明：由y22px，对x求导得：2yy2p2px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是pxpx。,o时，切线方程为Xoo也满足式,当yo0时，切线方程为y而2pxoyyp(xp2y(xxo)，即yoyyoyoxo)，而当yoo,xo故抛物线在该点的切线方程是yyp(xX。).定理1.椭圆上一个点p的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分22已知：如图，椭圆C的方程为笃每1,F1,F2分别是其左、右焦点，abl且过点P的椭圆的法线，交x轴于D,(图)l是过椭圆上一点P(xo,yo)的切线，1为垂直于求证：f2pd,F1PD,2X证法一：在C：-ya2yb21上,P(xo,
7、yo)则过点P的切线方程为:XX2ayoy1b21，p且与切线I垂直的法线，xoyo(書bc2D()2xoa则1：(x(驾a法线1与x轴交于,o),2c“|FQ|2X0c,|F2D|c2Xo,aa|FQ|PF1|PF11aexo,|PF21aexo，一|F2D|PF2|，故可得2bx0y00，而PF1的斜率k1,PF2的斜率Xoc|FQ|F2D|2a2acxoCxo，又由焦半径公式得:PD是BPF2的平分线,9o证法二：由证法一得切线I的斜率ky|xx2ayok2xy,I到PFi所成的角满足：tanckiikki.2ybx02xcay.-2_bxy0(xc)a2y22,22,2ay0bx0bc
8、x0(a2b2)xy0a2cy02xP(x,y)在椭圆C:pa同理，PF?到I所成的角满足tanikk2cy，k2b2cytantan而，（），证法三：如图，作点F3，使点F3与F?关于切线证法三：如图，作点F3，使点F3与F?关于切线I对称，连结Fi，F3交椭圆C于点PF面只需证明点P与P重合即可。方面，点P是切线I与椭圆C的唯一交点，则|PF!|IPF2I2a，是I上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为I上的其它点均在椭圆外）。另一方面，在直线I上任取另一点P,/|PFi|PF2|PFi|PF3|IF1F3I|PFi|PF2|即P也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P重
9、合，即而得证定理2双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图）；2已知：如图，双曲线已知：如图，双曲线F2分别是其左、右焦点，I是过双曲线C上的一C的方程为笃a点P（xo,y。）的切线,x轴于点D,交设FiPD,F2PDc|PFi|X0aca|,|PF2|X。aa|，双曲线的两焦点坐标为F(c,0),F(c,0)，故|DFi|acacIIIx0al,lDF2II|x0X0ax0a1c1IxaIaI-x0aIaIDFiIIDF2I定理3抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分(图)。已知：如图，抛物线C的方程为为y4cx，直线I是过抛物
10、线上一点P(Xo,y)的切线，交x轴于D，DPF,PDF，反射线PQ与I所成角记为，求证：证明：如图，抛物线C的方程为C:y24cx，点P(x0,y0)在该抛物线上，则过点P的切线为yyp(xXo)，切线|与x轴交于D(x,0)，焦点为F(c,O)，(同位角)，v|PF|,(xoc)2心|x。c|,|DF|x。c|,a|PF|DF|,通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢三、圆锥曲线的光学性质的应用1解决入射与反射问题例1.设抛物线C:y2x，一光线从点A(5,2)射出，平行C的对称轴，射在C上的P点，经过反射后，又射到C上的Q
11、点，贝UP点的坐标为,Q点的坐标为。解：如图，直线AP平行于对称轴且A(5,2),则P点的坐标为(4,2),12反射线PQ过点F(丄,0)，设Q(t2,t),4t28111则，解得：t-,Q(,-)t214115864844图3.1.1例2.已知椭圆方程为2x252y16次反射回到A点，设二次反射点为1，若有光束自焦点A(3,0)射出，经二B,C，如图3.1.2所示，则ABC的周长为O2解：椭圆方程为252y-116A(3,0)为该椭圆的一个焦点，射光线AC定过另一个焦点A(-3故厶ABC的周长为：ABBA中，c225自A(3,0)ACCA169,0)射出的光线AB反射后，反4a4520。图3
12、.1.222例3.双曲线C:L1,又aC，已知A(4,2.2),88F(4,0)，若由F射至A的光线被双曲线C反射，反射光通过P(8,k)，则k=。解：入射线FA反射后得到的光线AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点F(4,0),k3&1283.2解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最图3.1.3图3.1.3近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不至到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价
13、值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。22例4.已知椭圆C:-1,Fi、F2为分别是其左右焦点，点Q(21),P是C上的动点，求259MF1MQ的取值范围。图3.2.1图3.2.2图3.2.3(一)分析猜想：(1) 经计算，Q(2,2)点在椭圆内，由于椭圆是封闭图形，因此MF1MQ应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。(2) 同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射(如图3.2.1,光线从F1RQ),二是被下半椭圆反射(如图，光线从F1P2F2Q),究竟哪种情况距离之和更小呢显然，根据椭圆定义，图中的PRPQ2a(2a为椭圆长轴长)，而图中的P2F1F2Q2a，可见图所示的情况距离之和更小。但是，最大值又是多少呢图3.2.2所示的光线又有什么特点呢将图3.2.1.和图中的光线反射路线合并图，由于F2QF2F1PQPF1是定
