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1、word曲线方程与圆锥曲线典型例题解析一知识要点1曲线方程1求曲线(图形)方程的方法与其具体步骤如下：步 骤含 义说 明1、“建：建立坐标系；“设：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化：化简化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意
2、同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程假设是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀：建设现(限)代化2求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的根本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进展求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一
3、个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2圆锥曲线综合问题1圆锥曲线中的最值问题、围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以与观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线Cf(x，y)=0与直线ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如此弦长|AB|为：假设弦AB过圆锥曲线的焦点
4、F，如此可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值围。2对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉与到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以与定点、定值问题的判断方法。3实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以与行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉与与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数
5、学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：4知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现局部有较强区分度的综合题。二典例解析题型1：求轨迹方程例11一动圆与圆外切，同时与圆切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。2双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。解析：1法一设动圆圆心为，半径为，设圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：，当与相切时，有当与相切时，有将两式的两边分别相加，得，即移项再两边分别平方得：两边再平方得：，整理得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。法二由解法一可得方程，由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，
6、所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，圆心轨迹方程为。2如图，设点坐标各为，在双曲线方程中，双曲线两焦点为，存在，由三角形重心坐标公式有，即 。，。点在双曲线上，将上面结果代入曲线方程，有即所求重心的轨迹方程为：。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法求轨迹方程的方法。例22001，3设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，如此点M的轨迹方程是。解析：1答案：x24y21设Px0，y0 Mx，y2xx0，2yy04y21x24y21 点评：利用中间变量法转移法是求轨迹问题的重要方法之一。题型2：圆锥曲线中最值和围问题例3
7、1设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，如此F1AB的面积最大为 A. B. C. D. 2双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，如此此双曲线的离心率的最大值是 A. B. C. 2D. 3A3，2、B4，0，P是椭圆上一点，如此|PA|PB|的最大值为 A. 10B. C. D. 解析：1如图，由椭圆对称性知道O为AB的中点，如此F1OB的面积为F1AB面积的一半。又，F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以F1OB的面积最大值为。所以F1AB的面积最大值为cb。点评：抓住F1AB中为定值，以与椭圆是中心对称图形。2解析：由双曲线的定义，得：，又，所以，从而由双
8、曲线的第二定义可得，所以。又，从而。应当选B。点评：“点P在双曲线的右支上是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值围。3解析：易知A3，2在椭圆，B4，0是椭圆的左焦点如图，如此右焦点为F4，0。连PB，PF。由椭圆的定义知：，所以。由平面几何知识，即，而，所以。点评：由PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论。例4106全国1文，21设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。206文，21在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.求该椭圆的标准方程；假设是椭圆
9、上的动点，求线段中点的轨迹方程；过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。306文，21椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。()求椭圆的方程；()直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。解析：1依题意可设P(0,1)，Q(x,y),如此 |PQ|=，又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2， =(1a2)(y )2+1+a2 。因为|y|1,a1, 假设a, 如此|1, 当y=时, |PQ|取最大值，假设
10、1a,如此当y=1时, |PQ|取最大值2。2由得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,如此半短轴b=1， 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为。设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，由x=得x0=2x1y=y0=2y由,点P在椭圆上,得，线段PA中点M的轨迹方程是。当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1。当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,)，如此,又点A到直线BC的距离d=，ABC的面积SABC=。于是SABC=。由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立。SABC的最大值是。3解：设椭圆方程为由得所求椭
11、圆方程为。解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由，消去y得关于x的方程：，由直线与椭圆相交于A、B两点，解得。又由韦达定理得，。原点到直线的距离。.解法1：对两边平方整理得：*，整理得：。又，从而的最大值为，此时代入方程*得，。所以，所求直线方程为：。解法2：令，如此。当且仅当即时，此时。所以，所求直线方程为解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零。设直线l的方程为，如此直线l与x轴的交点，由解法一知且，解法1： =.下同解法一.解法2：。下同解法一。点评：文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以与判别式问题啊是解题的关键。题型3：证明
12、问题和对称问题例5106理，19如图，椭圆1ab0与过点A2，0B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：ATM=AFT。206理，20设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。、求椭圆的方程；、设为右准线上不同于点4，0的任意一点，假设直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆。306理，20在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点。求证：“如果直线过点T3，0，那么3是真命题；写出1中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解析：1I过点、的
13、直线方程为因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以 ，故又因为 即 所以 从而得 故所求的椭圆方程为II由I得 故从而由，解得所以 因为又得因此点评：此题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的根本思想方法和综合解题能力。2依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b.故椭圆的方程为 .解法1：由得A2，0，B2，0.设Mx0，y0.M点在椭圆上，y04x02. 又点M异于顶点A、B，2x00，0，如此MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆。解法2：由得A2，0，B2，0.设Mx1，y1，Nx2，y2，如此2x12，2x22，又MN的中点Q的坐标为，依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差(222(x1x2)2(y1y2)2 x12) (x22)y1y1又直线AP的方程为y，直线BP的方程为y，而点两直线AP与BP的交点P在准线x4上，即y2又点M在椭
