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1、第2讲圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题一、选择题1若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是()A(1,2)B.(1,2C(1，)D.(1，解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1e2.答案B2已知椭圆1(0b2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是()A1B.C.D.解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a2；由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|A
2、F2|BF2|)3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即3，可求得b23，即b.答案D3(2014湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ()A.B. C3D.2解析设|PF1|r1，|PF2|r2(r1r2)，|F1F2|2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得.令m，当时，mmax，max，即的最大值为.答案A4(2014福建卷)设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P
3、，Q两点间的最大距离是()A5B. C7D.6解析设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r，点C到椭圆上的点Q(cos ，sin )的距离|CQ|5，当且仅当sin 时取等号，所以|PQ|CQ|r56，即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.答案D二、填空题5已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_解析由已知得A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，则f(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2.答案26已知A(1,2)，B(1,2)，动点
4、P满足.若双曲线1(a0，b0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_解析设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆又双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即bxay0，由题意，可得1，即1，所以e2，又e1，故1e2.答案(1,2)7若椭圆1(ab0)与双曲线1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为_解析可知e1，e1，所以ee22e1e20e1e21.答案(0,1)8直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值
5、为_解析由得x23x40，xA1，xD4，yA，yD4.直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1)AFyA1，DFyD15，.答案三、解答题9(2014烟台一模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x28y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(2,3)，Q(2，3)在椭圆上，点A，B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，则b2.由，a2c2b2，得a4，椭圆C的方程为1.(2)当APQBPQ时，PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，PA的
6、直线方程为y3k(x2)，由整理得(34k2)x28(32k)kx4(32k)2480，x12，同理PB的直线方程为y3k(x2)，可得x22，x1x2，x1x2，kAB ，所以直线AB的斜率为定值.10(2014湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点(1)写出抛物线C2的标准方程；(2)求证：以AB为直径的圆过原点；(3)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值解(1)设抛物线的标准方程为y22px
7、(p0)，由F(1,0)，得p2，C2：y24x.(2)可设AB：x4ny，联立y24x，得y24ny160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y216，x1x216，x1x2y1y20，即以AB为直径的圆过原点(3)设P(4t2,4t)，则OP的中点(2t2,2t)在直线l上，得n1，又t0，n1，直线l：xy4.设椭圆C1：1，与直线l：xy4联立可得：(2a21)y28(a21)ya417a2160，由0，得a，长轴长最小值为.11(2014金丽衢十二校联考)如图，过椭圆L的左顶点A(3,0)和下顶点B(0，1)且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M
8、，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P.(1)求椭圆L的标准方程；(2)()证明存在实数，使得；()求|OP|的取值范围解(1)由椭圆L的左顶点为A(3,0)，下顶点为B(0，1)可知椭圆L的标准方程为：y21.(2)()证明由(1)可设直线l1，l2的方程分别为yk(x3)和ykx1，其中k0，则M(0,3k)，N(，0)由消去x得(19k2)x254k2x81k290.以上方程必有一根3，由根与系数的关系可得另一根为，故点C的坐标为(，)由消去x得(19k2)x218kx0，解得一根为，故点D的坐标为(，)由l1与l2平行得t ，t ，然后，进行坐标运算，即可得出点P的坐标为，而(3,3k)，.(13k)，存在实数13k，使得.()由，法一由消参得点P的轨迹方程为x3y30，所以|OP|的最小值为；法二得|OP|，令t13k，则|OP|，其中0,1，|OP|的最小值为，故|OP|的取值范围为，)
