《福建师范大学22春《常微分方程》综合作业二答案参考27》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学22春《常微分方程》综合作业二答案参考27（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学22春常微分方程综合作业二答案参考1. 设图G中至少有9个结点，每个结点的次数不是5就是6，试证G中至少有5个6次结点或至少有6个5次结点设图G中至少有9个结点，每个结点的次数不是5就是6，试证G中至少有5个6次结点或至少有6个5次结点证明 根据图论中定理，任何图中奇结点数为偶数，因此5度结点的个数只能为0，2，4，6，8；此时对应6度结点的个数则为9，7，5，3，1对这5种情况都满足至少有5个6度或6个5度结点的情况，故结论成立 本题条件是图G共有9个结点，每个结点的度数是5或是6而要证明的是满足两种情况之一即可，对于5度结点至少为6个，即可以是6个或8个而如果只有4个5度结点时
2、，那么剩下9-4=5个结点，而这5个结点的度数为6(即至少有5个6度结点)而如果只有0个、2个5度结点时，则对应有9个、7个6度结点，也满足至少5个的情况同理，从至少5个6度结点出发，本题条件是图G共有9个结点，每个结点的度数是5或是6而要证明的是满足两种情况之一即可，对于5度结点至少为6个，即可以是6个或8个而如果只有4个5度结点时，那么剩下9-4=5个结点，而这5个结点的度数为6(即至少有5个6度结点)而如果只有0个、2个5度结点时，则对应有9个、7个6度结点，也满足至少5个的情况同理，从至少5个6度结点出发，少于5个或多于5个时的情况也能得出相应结论 2. 设A是n(n1)阶矩阵，满足A
3、k=2E(k2，kZ+)，则(A+)k=( )A(1/2)EB2EC2k-1ED2n-1E设A是n(n1)阶矩阵，满足Ak=2E(k2，kZ+)，则(A+)k=( )A(1/2)EB2EC2k-1ED2n-1E正确答案：D3. 试用V函数判断下列微分方程组零解的稳定性： x&39;=y+x-x3，y&39;=-x-y3试用V函数判断下列微分方程组零解的稳定性：x=y+x-x3，y=-x-y3当0时取定正函数V=x2+y2，因V=2x2-2(x4+y4)定负，方程组的零解渐近稳定而当0时因线性近似方程组的特征方程2-+1=0的根有正根，方程组零解不稳定4. 如果函数f(x，y)在点P0(x0，y
4、0)沿各方向的方向导数都存在，那么能否断定f(x，y)在点P0连续？如果函数f(x，y)在点P0(x0，y0)沿各方向的方向导数都存在，那么能否断定f(x，y)在点P0连续？不能例如，函数 在点(0，0)处沿任一方向el=(cos，cos)的方向导数都存在，且 当cos0时， 当cos=0时， 而，故f(x，y)在点(0，0)处不连续 反过来，由函数在一点处的连续性也不能推出函数在该点沿各方向的方向导数均存在，例如，问题2中提到的函数在(0，0)处连续，但它沿方向l：el=(cos，cos(coscos0)的方向导数并不存在. 5. 设f(x+y,x-y)=x2-y2，则，分别为_ (A)y，
5、x (B)2x，2y (C)2x，-2y (D)x，-y设f(x+y,x-y)=x2-y2，则，分别为_(A)y，x(B)2x，2y(C)2x，-2y(D)x，-yA因为f(x+y，x-y)=x2-y2=(x+y)(x-y)， 所以，f(u，v)=uv，即f(x，y)=xy，从而 ， 故应选(A) 6. 举例证明，当AB=AC时，未必B=C举例证明，当AB=AC时，未必B=C证 例如，设 则有 7. y+4y&39;+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式( )y+4y+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式()正确8. 若A为正交矩阵，
6、则其行向量组线性无关 若A的行向量组线性无关，则A为正交矩阵？若A为正交矩阵，则其行向量组线性无关若A的行向量组线性无关，则A为正交矩阵？例 设，易知A的行向量组线性无关，而A不是正交矩阵9. 就p，q的各种情况说明二次曲面zx2py2qz2的类型就p，q的各种情况说明二次曲面zx2py2qz2的类型正确答案：(1)pq0时zx2是抛物柱面；rn(2)q0p0时若p0zx2py2是椭圆抛物面若p0zx2py2是双曲抛物面；rn(1)pq0时,zx2,是抛物柱面；(2)q0,p0时,若p0,zx2py2是椭圆抛物面,若p0,zx2py2是双曲抛物面；10. Z2上周期为7的拟完美序列a=1001
7、011的递推关系式是A、ak3=ak1akB、ak2=ak1akC、ak2=ak1aZ2上周期为7的拟完美序列a=1001011的递推关系式是A、ak+3=ak+1-akB、ak+2=ak+1-akC、ak+2=ak+1+akD、ak+3=ak+1+ak正确答案： D11. 下面的函数哪些是一对一函数，哪些是一一对应函数： (1)f：NR，其中f(n)=log10n+1； (2)f：NR，其中 (3)f：RR下面的函数哪些是一对一函数，哪些是一一对应函数：(1)f：NR，其中f(n)=log10n+1；(2)f：NR，其中(3)f：RR，其中f(r)=2r+15(1)(2)是一对一函数，(3)
8、是一一对应函数 本题要注意定义域和值域各自的范围 12. 设y=sintdt，求y&39;(0)，设y=sintdt，求y(0)，y(x)=sinx， y(0)=0， 13. 已知f(x)在点x0处可导，且f&39;(x0)=2，求极限已知f(x)在点x0处可导，且f(x0)=2，求极限原式=14. x=0是函数f(x)=xarctan(1/x)的( )A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点参考答案：B15. 边长为b的方形薄膜，边缘固定，开始时膜上各点的位移为Axy(b-x)(b-y)，(A为常数)，求它从静止开始的边长为b的方形薄膜，边缘固定，开始时膜上各点的位移为Axy(b
9、-x)(b-y)，(A为常数)，求它从静止开始的自由振动情况。正确答案：该问题的数学模型为rnrnStep1：分离变量rn 令u(xyt)=X(x)Y(y)T(t)rn代入齐次方程及齐次边界条件有rn x(x)Y(y)T(t)=a2X(x)Y(y)T(t)+X(x)Y(y)T(t)rn两边同除以a2X(x)Y(y)T(t)得rnrn分析可知上式两端必须是常数rnrn得3个常微分方程rn X(x)-X(x)=0rn Y(y)-Y(y)=0rn T(t)-a2T(t)=0rn代入齐次边齐条件中有X(0)=X(b)=0Y(0)=Y(b)=0rn Step2：求特征值rn由前面的习题知：rn该问题的数
10、学模型为Step1：分离变量令u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)代入齐次方程及齐次边界条件有x(x)Y(y)T(t)=a2X(x)Y(y)T(t)+X(x)Y(y)T(t)两边同除以a2X(x)Y(y)T(t)得分析可知上式两端必须是常数得3个常微分方程X(x)-X(x)=0Y(y)-Y(y)=0T(t)-a2T(t)=0代入齐次边齐条件中有X(0)=X(b)=0,Y(0)=Y(b)=0Step2：求特征值由前面的习题知：16. 函数定义的5个要素中，最重要的是掌握变量间的依存关系和定义域。( )A.正确B.错误参考答案：A17. f(x)=|cosx|+|sinx|的最小正周期是(
11、)A./4B./2C.D.2参考答案：B18. 下列关于导数的结论正确的是( )。A.两个函数的和的导数等于两个函数导数的和B.两个函数的差的导数等于两个函数导数的差C.反函数的导数等于原来函数导数的倒数D.两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数参考答案：ABCD19. 设X是度量空间，f：X证明f连续的充要条件是对每个a，集合xX：f(x)a与xX：f(x)a都是闭集设X是度量空间，f：X证明f连续的充要条件是对每个a，集合xX：f(x)a与xX：f(x)a都是闭集证明方法1 必要性 设f连续，则 xX：f(x)a=f-1(a，)与 xX：
12、f(x)a=f-1(-，a) 都是闭集的逆像，从而都是闭集 充分性 设X的度量拓扑为，上的通常拓扑为由题设有 f-1(-，a)=f-1(a，)c)=(f-1(a，)c f-1(a，)=f-1(-，ac)=(f-1(-，a)c 从而对c，d，cd，f-1(c，d)=f-1(c，)f-1(-，d)由于每个V是若干个形如(-，a)，(a，)，(c，d)类型的开区间之并，故对每个V，有f-1(V)因此f是连续的 方法2 令Ga=x：f(x)a，Ha=x：f(x)a 必要性 设xnGa，xnx0(n)，则f(xn)a令n，由f连续得f(x0)a，故x0Ga这表明Ga是闭集同理可知Ha是闭集 充分性 假设
13、f在某点x0X不连续，则00，n，xnX，(xn，x0)1/n，但f(xn)-f(x0)|0于是 xnx0(n)且 由是闭集得出x0，即f(x0)f(x0)+0与f(x0)f(x0)-0必有一个成立，这是矛盾的因此f在X上连续 20. 函数f(x)=1/x在(0，+)是减函数。( )A.错误B.正确参考答案：B21. 在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。空格22. 计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) yex，ye-x ，x1 ；(2)yx34x，y0； (3) yx2，yx，y2计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) yex，ye-x ，x1 ；(2)yx34x，y0； (3) yx2，yx，y2x； (4)y212(x3)，y21正确答案：解 (1)另所求平面图形面积为A如图612所示则rn解(1)另所求平面图形面积为A,如图612所示,则23. 若y=ln(2x)，则y&39;=1/2x。( )A.错误B.正确参考答案：A24. 已知函数 在x=0处连续，求a、b的值。已知函数在x=0处连
