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1、简述期望的性质及其应用摘 要 数学期望是概率论课程中的一个重要概念，是随机变量的重要数字特征之一，数学期望在人们社会实践中有重要并且广泛的应用。本文首先介绍了数学期望的几个定义和主要性质，然后通过举例说明数学期望在农业、经济、日常生活中以及在其他学科知识上的应用，最后总结了数学期望的应用前景和发展方向。关键词：数学期望;随机变量;多维随机变量 Brief mathematical expectation Properties and ApplicationsAbstract Mathematical expectation is an important concept in probabil
2、ity theory course,which is one of the important digital features of random variables, the mathematical expectation in peoples social practice used widely and importantly. This article firstly introduces several definitions and main properties of mathematical expectation, then illustrate mathematical
3、 expectation in the agricultural, economic and daily life as well as the application knowledge in other disciplines, and finally summarizes the mathematical expectation of application prospects and development direction.Keywords: Mathematical expectation;Random variable；Multiple random variable.目 录摘
4、 要IAbstractII第一章 引 言1第二章 数学期望22.1 数学期望的定义22.2 一维随机变量的数学期望性质32.3 多维随机变量数学期望的性质4第三章 数学期望的应用63.1 数学期望在农业中的应用73.2 数学期望在经济中的应用83.3 数学期望在日常生活中的应用93.4数学期望在其他学科知识的应用10主要参考文献12致谢13- 12 -简述期望的性质及其应用第一章 引 言早起的埃及人为了忘记饥饿,经常聚在一起玩一种游戏叫做“猎犬与胡狼”的游戏,实际上就是掷骰子游戏,相对面的数学之和是7的骰子大约产生于公元前1400年的埃及,骰子就是游戏中常用的随机发生器,这类游戏也叫机会性游戏
5、。17世纪中叶,人们开始对机会性游戏的数学规律进行探讨。通过人类的社会实践和生产劳动,概率论同其他数学分支一样在一定的社会条件下发展成为一种。智力积累。期望是概率论发展早期就形成的一个数字特征,也是概率论的一个重要内容之一,也是其他诸如方差、高阶矩阵等数字特征的基础。数学期望领域在不断的发展和成熟，通过对数学期望的定义和性质的深刻理解,领悟到数学期望在当今乃至未来的重要作用。 数学期望是概率论的一个重要且目前仍然非常活跃的领域,又是一门最有实用价值的数学理论,是社会实践与生产中预测与决策的核心,已成为现代生活实践中各种形式与数量关系强有力的工具。预测与决策问题很多都可以转化成期望的运算与求解,
6、特别是经济的发展为期望开辟了广泛的前景。 本课题简述了几种期望的性质运算,通过列举一些生产和生活中具有的重要意义的问题,加深对数学期望的性质及其作用的理解,结合现代经济生活中出现的决策问题,运用数学期望的性质进行深入探讨并解决问题。 第二章 数学期望 在很多情况下，人们对随机变量的研究往往需要知道的并不像随机变量的分布那样完全，只需知道关于它的特征值就够了。数学期望是研究随机变量总体取值的水平的一个重要的数字特征，反映的是随机变量取值的平均数，它在理论和实际应用中都很重要，人们可以直接或间接地利用数学期望来解决遇到的问题，是人们做出选择的重要参考数据。 2.1 数学期望的定义 定义13 离散型
7、随机变量的一切可能值与对应的概率的乘积 的和叫做随机变量数学期望，记作.如果随机变量只能取得有限个值而取得这些值的概率分别是则数学期望 如果随机变量可能取得可数无穷多个值而概率分别是则数列期望是下列级数的和：假定这级数是绝对收敛的，因而级数的和与各项的排列次数无关。定义2 设连续型随机变量X的概率密度为,若积分 绝对收敛,则称积分 的值为随机变量的数学期望,记为.即 定义3 设二维随机变量的联合密度函数为则随机变量与的数学期望分别定义如下：定义4 设二维随机变量的联合概率密度为则随机变量与的数学期望分别定义如下：假定反常积分是绝对收敛的。例1 某工程队计划承包一项工程。若三天完成可获利8000
8、元，四天完成可获利5000元，五天完成要被罚款10000元。由以往经验知，该工程队三天、四天、五天完成此项工程的概率分别为0.3、0.5、0.2，获利金额的概率分布见下表。问，如果你是经理，愿意承包这项工程吗？（元）80005000-100000.30.50.2 解 承包此项工程获利的数学期望是：80000.3+50000.5-100000.2=2900 元，就是说，虽然有被罚款的可能，但平均说来，承包这样的工程是可以获计算出利润的。 以上案例是对数学期望的定义直接应用，计算出数学期望就知道答案了。在实际应用中，依照数学期望的定义来求期望值是一种简单和常用的方法，它为人们的选择提供了可靠的运算
9、公式，并从中得出人们对事物所需要的期望值，防止了人们选择的盲目性，为人们的选择提供了指明灯。2.2 一维随机变量的数学期望性质 从数学期望的定义出发，人们推理论证了期望所具有的一些性质，这些性质在应用计算过程中提供了简单可靠的方法，大大减少了运算步骤和程序，在实际应用中往往会用到这些性质。性质13设是常数,则有.证 把常数看作一个随机变量,它只能取得唯一的值,取得这个值的概率显然等于1。所以,性质23设是随机变量,是常数,则有 证 若X是连续型随机变量,且其密度函数为.当是离散型随机变量的情形时,将上述证明的积分号改为求和号即。特别地,当时,得到. 例1 某银行开展定期定额的有奖储蓄，定期一年
10、，定额60元。按规定10000 个户头中，头等奖一个，奖金500元;二等奖10个，各奖100元;三等奖100个各奖10元;四等奖1000个，各奖2元。某人买了五个户头，他期望得奖多少元? 解 因为任何一个户头得奖都是等可能的，我们先计算一个户头的得奖金数。依题意，的分布列为:5001001020 所以，X的数学期望为:即买5个户头的期望得奖数为 以上案例是对数学期望性质2的应用，从中看出从简单的数学期望定义还不能满足人们的要求，人们需要更为简单方便的方法来计算期望值。2.3 多维随机变量数学期望的性质除一维随机变量外，在现实生活中往往在一个事件中会出现多个随机变量，期望值由这多个随机变量的值来
11、共同决定，那么研究多维随机变量的性质在求解数学期望也是很重要的。性质31:设是随机变量,其中则有性质44：设维随机变量的数学期望存在,则有线性性质：对任意常数有 .证 （1）由积分的性质得 性质54：若相互独立,则 证 仅证并设为连续性的情形。 设及为及的密度函数,有的独立性,有 例 1 某人先写了封投向不同地址的信，再写了这个地址的信封，然后在每个信封内随意地装入一封信，求信与地址配成对的个数的期望解 首先定义个随机变量如下:则 配对试验的样本空间的样本总点数 ，而事件=第封信配对成功，而其他封信随意配的样本总点数=.所以 从而因此. 以上例题是配对问题，是对数学期望性质3的实际应用，通过运
12、用数学期望的性质运算，给出了事件的科学合理的解释，使事实并不是想象中的那样巧合。第三章 数学期望的应用 期望是人们对事物的提前勾画出的一种标准，达到了这个标准就是达到了期望值。美好的愿望是人类生存的精神支柱，为一个特定的目标而奋斗，通过艰苦的努力去战胜各种风险，以致终于达到预先的期望。期望与风险并存，在社会实践过程中人们从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策。在社会实践中经常要对事情的结果进行预测，数学期望在其中起到了不可替代的作用。数学期望在社会经济生活中应用十分广泛,涉及农业、经济、生活等诸多领域,例如决定生产批量问题、试验决策问题、求职问题、民事纠纷问题等等.3.1 数学期望在
13、农业中的应用在农业投资的过程中，实现投资行为的途径很多，可以确定相应的多种投资方案。农业生产受到自然环境、气候、市场供需矛盾、农民自身文化素质等的严重影响。以前农民种地全凭经验，靠天吃饭，以自给自足、满足温饱为目的，剩余农产品用来交换的占极少数。现代农民文化素质较高，能根据气象资料、市场供需情况等组织生产，劳动收入有大幅度提高，并逐步向产业化方向发展。如何选择较为科学的投资评价方法，通过对多种投资方案进行对比分析，以便得出较为科学、合理的决策，是农业投资决策中的一个重要的研究课题。数学是人们在生产实践、科学试验中总结经验、加工提炼、抽象升华而发展起来的一门科学。因此，将数学应用于农业生产中，必
14、将对农民种植起着积极的指导作用。期望是人们对不同时间不同区域种植某种农作物收益来进行预测，根据农作物的自身特点与外界条件以及市场的正确预估，提前做好工作，则会使收益达到最大化或者损失达到最小。数学期望的形成与发展为农业的生产做出了不可替代的作用。 案列1 某农场主根据以往经验,拟投资3个项目：生产玉米、大豆和芝麻，其收益都与市场状态有关。若把未来市场划分为优、良、差三个等级,根据市场调查研究,其发生的概率分别为0.3,0.5,0.2,生产玉米的收益（万元）分别为9,7,-2时,对应的值分别为0.3,0.5,0.2；生产大豆的收益（万元）分别为11,4,-3时，对应的值分别为0.3,0.5,0.2;生产的芝麻收益（万元）分别为12,4，-5时,对应的值分别为0.3
