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1、全国高中数学联赛江西省初赛试题一、填空题( 每题10分,共分）1. 某人在将中间的两个数码分别换成两位数与时，正好都得到完全平方数：，则数组 .2 若一种椭圆的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点,则椭圆的方程为： 3 实数满足,则的最大值是 . 4. 四周体中,平面与平面成的二面角，则点到平面的距离为 5. 从集合中,去掉所有的倍数以及的倍数后，则中剩余的元素个数为 函数的值域是 . .九个持续正整数自小到大排成一种数列，若的值为一平方数,的值为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是 . 二、解答题(共分） (0分）给定轴上的一点（），对于曲线上的动点，试求两点之间距离的最小值(用表达). （
2、分)如图,、是一种圆中三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边,各得到一种凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为；证明:三点共线. （25分)项正整数列的各项之和为，如果这个数既可分为和相等的个组,又可分为和相等的个组,求的最小值.答案 1. 提示：注意到，对于整数，若的末位数为，则的末位数必为或,易知,(）,因此,于是，若要满足条件,只也许是,由于，因此，. 提示：双曲线的两顶点为，两焦点为,故由条件，椭圆的两焦点为,两顶点为，因此，,，则椭圆的方程为. 3 提示:令，则，由,得，由于实数,则鉴别式，得. 提示：,作平面,垂足为，连，由三垂线逆定理,，因此,故,又由于正方形,则,因此
3、正三角形的面积为，设到平面的距离为,由,得5. 提示:集合中,的倍数有个，的倍数有个，的倍数有个,则剩余的元素个数为个. 提示：，令,则,由此,，当时两边分别获得等号. .提示:.（注：由,则,即.). 提示:设这九数为 ，则有,则,得 令,得,因此 ,再取,，化为 ，取，可使左式成立,这时,，如图,易求得曲线上诸点的坐标为：，当,即时，曲线方程为 ;而当时,曲线方程为 ，对于情形，即时,显然当位于顶点处时,距离获得最小值；对于情形,即在或时,设点，由于,因，则,，于是，当时，获得最小值;再比较与:令,则当时,，即最小值为；而当时,，则最小值. 如图，设为三条不相交的弦，其中,，又设，点截的三
4、边，据梅涅劳斯逆定理，只要证 ，用记号表达三角形面积，则由 由此得，因此只要证, 注意 , ，则因此 ,即成立,从而成立,故结论得证. 设提成的个组为，每组中的各数和皆为，称这种组为类组;而提成的个组为，每组中的各数和皆为,称这种组为类组显然，每个项正好属于一种类组和一种类组,即同类组之间没有公共项，如果两个组中有两个公共项,则可以将这两个数合并为一种项，这样可使值减少,故不妨设，每对至多有一种公共项.今用点分别表达,而点表达组,如果组有公共项,则在相应的点之间连一条边,于是得二部图,它恰有条边和个顶点下面证明是连通图.如果图的最大连通分支为,其顶点数少于,设在分支中,有个类顶点和个类顶点，其
5、中，则在相应的类组和类组中,类组中的每个数都要在某个类组中浮现；而类组中的每个数也都要在某个类组中浮现，(否则将有边与分支外的顶点连接，发生矛盾)，因此个类组中各数的和应等于个类组中各数的和,即有，由此得,，因此,矛盾!因此是连通图.于是图至少有条边,即;另一方面，我们可实际构造一种具有项的数列，满足本题条件.例如取，（该数列有个取值为的项；个取值为的项；另将其他七个拆成七对，其中四对,两对，一对，又得到个项),于是,每个类组可由一种，一种,或者由一种，添加一对和为的项构成；这样共得个类组，每组各数的和皆为；为了获得和为的个类组,可使各成一组,其他的数可以拼成八个类组:的组四个,的组两个,的组一种,的组一种故的最小值为.
