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1、数学家的观点对数学学习的启示范文贵【专题名称】中学数学教与学（初中读本）【专 题 号】G351【复印期号】2008年01期【原文出处】数学教育学报(津)2007年3期第1720页【作者简介】范文贵渤海大学教育学院，辽宁锦州，121000许多数学教育工作者呼吁：创造适合学生发展的学习环境，调整学生在学习中的位置，成为数学家式的学生，学生是数学知识的生产者而不是消费者1。我们应该认真反思我们的数学教学过程，数学家的观点为此提供了许多关于数学学习方面的认识，值得我们借鉴。戴维斯(W.J.Davis)指出：在数学学习中，学生进行数学工作的方式应当与做研究的数学家类似，这样才能有更多的机会取得成功2。针
2、对学生在数学学习中的创造性，贝尔特拉米(Beltrami)提出：学生应该及早地像数学大师那样去追求和进行大量的创造性思考活动，而不要让学校里那种无休止的练习把自己的头脑弄得僵化和贫乏。实际上，沉溺在许多无益的练习之中，正好是一种在无意义劳动掩盖之下的懒惰，这样做除了使人消磨意志之外别无其他作用3。未来的课堂必须给学生提供像数学家那样研究数学的机会4。让学生有机会探索研究数学问题，而不是一味地接受教师传授的数学知识，学生单纯地做数学习题会使他们丧失创造性，剑桥报告(Cambridge Report)指出：连篇的算术练习和重复的“实际生活”问题比没有价值更糟糕，它们阻碍了学习的进展。我们以为，直到
3、最近还在小学中讲授的那种算术，在智力内容上就是如此地贫乏，常见的对该学科的反感，并不是对于困难问题的不幸反抗，这是对于繁琐偏见的完全合理的反应5。同时还需要指出的是，“像数学家一样研究数学问题”并不是要按照“培养一个数学家”那样的高标准要求学生，不过是为了强调通过数学学习培养学生的问题探究能力的重要性，否则就要陷入“精英教育”的怪圈。我们确实相信：如果我们让学生用有意义的方式学习数学，他们应该学会数学地思维。数学家要面对数学问题的挑战，他要寻找一种方法，进行多次尝试活动，达到解决问题的目的。他分析问题，用符号表示它，做出假设，建立联系，探索解决问题的其他可行的方法。他要尽力对他的问题进行演绎论
4、证，与他的同事讨论这些解决问题的方法，目的在于更好地理解这些问题，这种讨论将促进他们进一步推广这些数学概念。这些思想也会在学校数学教学中出现。一、数学家从问题开始研究数学科学修养的主要标准是能否抓住“重要问题”和是否能想出新的解决方法。对他们来说，艰深的问题和巧妙的解决方法使杰出的科学区别于仅仅是能干的或者普通的科学6。在数学领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要7。P.R.Halmos认为：一个正确的、问得好的问题就是这场战斗的一半，并且常常是唯一需要灵感的部分。问题的答案可能是困难的，并且它可能需要机敏地运用已知的技术，但常常是，创造与观察的颤音就集中在问题之中5。扪心自问，世界上
5、有多少“猜想”或“问题”是以中国人的名字命名的？中国数学的致命伤是缺乏原创性成果。国内外数学的差距主要在创新，中国像陈省身、丘成桐等大师那样的原创性成果太少。能够提出世界难题是创新人才的标志之一，恐怕他才具有摘取菲尔兹奖、沃尔夫奖的实力。我们独创的东西不够多，开创一个新的领域，让全世界的人跟着你，这类东西不够多8。中国数学在整体上仍和国际先进水平有相当大的差距。如果说我们在技巧上、证明难度上还比较强的话，那么我们在数学创意、新理论建立、新科学奠基方面，则有很大距离。如此考虑，也许“推测数学”的提出，正击中我们的弱点9。常见我国数学家解决外国人的猜想，却几乎没有听到中国人有过什么重要猜想。这一点
6、源于在基础教育中“中国学生提的学术问题很少”10。数学研究不必非得去解答别人提出的问题，我们要多做些原创性的研究，注重整体研究力量的提高。问题提出不仅有利于促进学生对知识的理解与反思，培养学生发现问题的创造潜能，而且是其终生学习和毕生发展的基础。教师要有培养学生提出问题的意识。一位好老师教学生如何解题固然很好，但是如何提高学生学习的兴趣、培养学生学会提出问题更重要。当学生遇到一个问题，他要学会对这个问题产生一些想法，同时要学会查找一些文献。提出问题的训练从小的方面来讲就是问老师或同学，从大的方面来讲，就是自己做一些比较起来还没有人“问”过的问题。一个好的数学研究者跟差的数学研究者相比，往往决定
7、于他问的问题有没有意思，是不是重要的问题。对学生来讲，问一些自己认为有意思的问题是一个很好的训练。“正多边形的推广分数多边形”课例11和利用几何画板开展探究性数学学习的案例分析12反映出：只要教师给学生提出问题的时间和机会，学生能够提出一些有价值问题，有一些问题甚至超出教师预料之外，学生沿着自己感兴趣的问题继续走下去，探索出自己的研究结果。这也正体现了“数学的本质就在于它的自由”13。二、实验和证明是数学家研究问题过程中的两个阶段在日常生活中，要证实某件事情，最普通的办法就是对它进行检验、试验、试探或实验。实际上，数学差不多也是一样。许多数学家花费大量时间观察、思考和分析特定的例子，这种方法促
8、进了数学理论的进一步发展，并使我们对于现有理论有更加深入的理解。高斯声称（他的笔记可以为证），他获得数学真理的方法是“通过系统的实验”。事实可能就是如此：大多数重要的数学进展都始于对例子的实验14。数学家总是以推理论证的形式发表论文，没有也不可能写出他在证明之前所做的大量试探性、试验性的工作。但是数学家在证明一个定理之前，必须经历大量的具体计算，进行各种试验或检验，才能形成证明的思路和方法。只有在这个时候，才能在逻辑上进行综合，表达为一系列的推理论证，即证明。由此可见，“演”中有“算”。另一方面，“算”中有“演”充分表现在算术和代数中15。因此数学研究中存在着两个阶段：实验和证明。实验数学杂志
9、的创办人、几何学家爱泼斯坦(Epstein,D.)和列维(Levy,S.)则从词源学的角度考察“证明(prove)”一词含有“尝试”“试验”和“证实”的意义.他们说：“英语证明(prove)有两个基本意义，一是尝试或试验，二是证实。”15当然，数学中的实验是一种抽象的思想实验，它不同于自然科学中的实物实验；数学实验只是提出猜想和假说的一种方法，它还必须经过逻辑证明，才能使猜想或假说变成定理。英国数学家、菲尔兹奖获得者M.F阿蒂亚认为：与其他自然科学的情况一样，数学中的一些发现也要经过几个阶段才能实现，而形式证明只是最后一步。最初阶段在于鉴别出一些重要的事实，将它们排列成具体含义的模式，并由此提
10、炼出看起来很有道理的定律或公式。接着，人们用新的经验事实来检验这种公式。只是到了此时，数学家才开始考虑证明问题16。对哈代来说，证明只不过是数学大厦的门面而不是其结构中的支柱13。开展数学实验活动激发他们潜在的学习能力，致力于高层次的学习状态。此时此刻学生的学习不仅仅是记忆定义、定理和公式，而是通过操作实验来建构知识，有效地领会数学知识结构中的思想方法。学生通过操作实验学习数学，可以获得更多的反馈信息，并且不断地改进他们对数学新知识的理解。开展数学实验活动可以进一步培养学生的动手能力、观察和分析问题的能力，能使学生进入主动探索状态、变被动的接受学习为主动的建构过程，同时培养学生的创新精神、意识
11、和能力。三、数学家在合作中研究数学数学中许多研究成果都是众多学者合作的结果，即使是一些个人独立完成的数学成果，这些成绩的取得都是在查询、借鉴、反思前人研究成果的基础上完成的，而且他们的成果的认可也需要经过社会的检验。数学家Lbers指出：“尽管一个数学家感到他在发展其理论时有完全的自由，但是我还是认为数学实际上是人类集体的努力，是人类理解世界的更一般的努力的一部分。尽管我们看不到惊奇的事，但是我们还是可以说，数学的任何一个有意义的部分都至少有一个机会被发现是令人愉快和惊奇的。”5正是由于整个队伍的集体努力，他们（数学家）才能证明这些定理。莱斯特弗(Restivo)指出：“独立的数学家不可能创造
12、数学，是数学界（数学研究共同体）创造了数学。”17怀尔斯证明费马大定理就是这样的例证18。正如戈德曼(Nicholas Goodman)所描述的：“数学定理，不是靠个人内省能够发现的东西，它并不存在于我的脑中，数学理论，像其他科学理论一样是社会的产物。它的创造与发展是由诸多智慧辩证影响的结果，而不是仅仅靠个人每一代数学家都反思上一代数学家的数学，把过时的、肤浅的、错误的结果抛弃掉，把丰富的、能产生新认识的结果进一步纳入关注的视野当中。”19正如牛顿所说：“如果我比其他人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”20这种继承性合作促进了数学的发展。希尔顿(Peter Hilton)就直言不讳地对
13、数学研究中合作、协商的作用进行了阐述：“首先，我得说我确实喜欢这种方法。我非常喜欢同朋友进行合作。其次，我认为这样做很有效果。因为如果一个人只是自己单干，那么他就可能会做得筋疲力尽。但是，如果两个人一起工作，当其中一个人感到情绪低落时，另一个人就会鼓励他。或者，如果一个人选择的伙伴并不是重复你所做的工作，而是起到一种相互补充作用的话，那么可能会产生一种更好的效果。”达克尼斯(Persi Diaconis)指出：“同一位好的合作伙伴一起工作很有效，既刺激又有趣。我发现在数学领域中，越来越多的人在互相合作。数学家喜欢互相交谈，因为互动、合作能使一个人的工作超越其平常水平。”21数学发展的历史告诉我
14、们，数学家不仅依赖自己的独立思考来研究问题，而且他们也非常注意相互之间的合作与集思广益。在数学飞跃发展的现代，数学的各个分支向纵深方向发展，每个数学家熟悉的数学知识是非常有限的，而数学家面对的问题往往是综合性的。因此数学家之间有组织、有分工的专题研究合作是弥补自身不足的有效方式，打破自己的习惯思维，互相取长补短，促进数学问题解决。虽然数学家的合作研究有别于学生的合作研究，但是数学家合作研究的精神激励着学生在合作中探索、研究数学。在数学学习中，学生要继承数学家的研究成果；同时学生若能与志同道合者共同磋商，必然能点燃学生数学思维的火花，进发出智慧之光，优化数学学习效果。学生应把数学问题解决看成人类
15、的一种共同的探索研究活动，必须学会以集体通力合作的方式解决问题，也必须学会在各种想法和办法的冲突中做出令人信服的论证。在“平面上的密铺”课例研究22的第一阶段基础上，我们引导学生进行第二阶段的“密铺”：探究两类以上正多边形组合密铺。由于这个问题比较复杂，我们让学生分组合作探究，最后，经过大家合作探究，发现两类正多边形组合密铺有5大类，共8种图形（另文发表）。一个人的能力是有限的，面对一个复杂问题，单靠一个人或一个小组在短时间内难以完成复杂的探究任务，这就需要我们把它分解，各个小组的学生积极踊跃前来“招标”，经过分工协作，最后大家共同解决它。合作探究小组采用演讲、谈判、合作与分析等方式促使学生将
16、一些非正式的、具体的探究结果转化为正式的、系统的研究结果。合作探究的最终成果是依赖于个人或各个合作小组的“独立”研究成果，它是合作探究的基础，体现学生的个性特征。合作探究的过程也是比较的过程，比较相互合作中的一致性和差异性，有效解决问题方法来源于探究共同体的争论，最后达成共识。四、数学家也会犯错误和失败数学知识是可纠正的且永远要接受更正23。概率论专家Doob曾说：“在发表的数学学术论文中，平均每两页就有一个非印刷性错误，不过这些错误绝大部分都可以补正。”24甚至有人说：不幸的是，一代人给出的证明在下一代人眼中总是错误的13。数学家哈达玛认为：优秀的数学家常犯错误，但能很快发现并纠正；他还说他本人就比他的学生犯错误更多。数学家李德伍德概
