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1、第8讲二项分布与正态分布一、选择题1. （2014 全国U）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45P (AB)P (A)解析 记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件 B表示“随后一天的空气质量为优良”，P（A） = 0.75,P（AB） = 0.6.由条件概率，得P（B|A） =0.6=0.8.0.75答案 A2. （2017衡水模）先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）357A.B.0一D.888解析三次均反面朝上
2、的概率是所以至少一次正面朝上的概率是答案 D3. （2016 青岛一）设随机变量X服从正态分布N（1，向,则函数f（x） x2 + 2x+ X不存在零点的概率为（）1A.41B.31c.22D.3解析 函数 f(x) = x2 + 2x + X 不存在零点， 二4 4X1 ,：X1N(1 , o2) ,：P(X1) = ，故选 C.答案 C4. (2017 武昌区模拟某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统1A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个89系统不发生故障的概率为40，则 P 二()1211A.B.C_D_1015651/r92解析由题意得(1 p
3、) +1p =.小， p ,_，故选B.8i 8丿 4015答案 B5. (2016 天津南开调研一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回， 直到红球出现10次时停止，设停止时共取了 XA.C10f 、3 10次球，则P(X= 12)等于()f 3 9B.C92 I8丿1r v3 2C.C91D.C91/ X3 10解析 由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于3每次取到红球的概率为，95)x所以 P(X= 12) = C9i3x-.8答案 D二、填空题6有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随 机抽取一粒，
4、则这粒种子能成长为幼苗的概率为 .解析设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗).依题意 P(B|A)= 0.8，P(A)= 0.9.根据条件概率公式 P(AB戸P(B|A)P(A)= 0.8 X9二0.72，即这粒种子能成长 为幼苗的概率为0.72.答案 0.727. 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X是服从正态分布N(800, 50解析 由 X N(800，502)，知 卩=800，c=50 ,又 P(700 V X 900) 0.954 4， 贝U P(800 V X 1) 9,则P(Y 1) 1解析TXB(2，p)，AP(X 1)壬一P(X= 0) = 1 C0(1
5、 p)2 =；，解得 p =；.93)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数800 VX 1)丰p(Y= 0) = 1 C3(1 p)7故所求事件的概率P(B)- 1 -P(B)- 1 -材-订 =19答案-27三、解答题9. (2015 湖南卷某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个 白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获 一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1) 求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2) 若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数
6、为 X， 求X的分布列.解(1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，B为“顾客抽奖1次能获奖”，则B表示“顾客抽奖1次没有获奖”.由题意A1与A2相互独立，则A1与A2相互独立，且B = A1么2，42因为 P(A1)=材=5, P(A2)=/ 、211 _1 _5丿 2丿所以 P(B)= P(A1 A2)=3101由 P(C) = P(A1 A2)= P(Ai) P(A2)=5顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，则1 0 4 364于是P* 0)-貲5八5丿p121 *?05548121P(X = 1) = C1P(X = 2) = C2P(X
7、= 3) = C3125125，125，故X的分布列为关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是 0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通 过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.(1) 求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2) 设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列.解(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率PP(AB C) + P( ABC) + P(A BC) = 0.5 X (10) X(1 0.75) + (1 0.5) X 0.6 X 0.75 + (1 0.5
8、) X (1 0.6)X00275.=甲被录取的概率为 P甲=0.5 X 0.603,同理P乙=0.6 X 0.503, P丙= 0.75 X 0.40.3.甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即XB(3, 0.3) , X 的可能取值为 0 , 1 , 2, 3，其中 P(X= k) = C3(0.3)k(1 0.3)3k故 P(X= 0) 3C0X0.30X(1 0.3)330.343 ,P(X 3 1) 3 C X0.3 X(1 0.3)2 3 0.441 ,P(X 3 2) 3 C2 X0.32X(1 0.3) 3 0.189 ,P(X33) 3 C3 X
9、0.3330.027 ,故X的分布列为3 ()1112A.B.c.D.2433解析 2X3 X3若x + y为偶数，则x,y两数均为奇数或均为偶数.故P(A) 36 X61 122，又 A,B同时发生，基本事件一共有2 X 3 X 3312个，讣)3嬴3P (AB)3答案 D12. （2017 长沙模）卡球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获2胜的概率都为一，前2局中乙队以2 : 0领先，则最后乙队获胜的概率是（）348A.B.92719c.2740D.811 2 1 2解析乙队3：0获胜的概率为3，乙队3：1获胜的概率为3气=9，乙队3：22 2 1412419获胜的概率为汀二=
10、齐最后乙队获胜的概率为P=3+9+27=27，故选C.答案 C13. 某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位:小时）均服从正态分布N（1 000，50 2），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为.解析 设元件1, 2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，1显然P（A）= P（B） = P（C）= 2，该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为（AB+ AB + AB)C,该部件的使用寿命超过1 000小时的概率p=1111 _x_ + _
11、x+ 0 2 2 21113x k = 一.2 2,2 83答案814. (2016 山东卷节选甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星对”得3分;如果只有一人猜对，则“星对”得 1分；如果两人都没猜对，则“星对”得3 20分.已知甲每轮猜对的概率是一，乙每轮猜对的概率是一；每轮活动中甲、乙4 3猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求:(1) “星队”至少猜对3个成语的概率；(2) “星队”两轮得分之和X的分布列.解(1)记事件A :“甲第一轮猜对”，记事件 B: “乙第一轮猜对”，记事件C: “甲第二
12、轮猜对”，记事件D: “乙第二轮猜对”，记事件E：“ 星队至少猜对3个成语”.由题意，E= ABCD + A BCD + A BCD + AB C D + ABC D .由事件的独立性与互斥性，得P(E) = P(ABCD)+ P(A BCD)+ P(A BCD) + P(AB CD) + P(ABC D )=P(A)P(B)P(C)P(D)+ P( A)P(B)P(C)P(D) +P(A)P(B)P(C)P(D)+ P(A)P(B)P(C)P(D) +1 2 323 13 2x xx+ x x x许3 434 3 4 3,23 2 3 2p(a)p(b)p(c)p(d)=4 x x-+ 2
13、x2所以“星队”至少猜对3个成语的概率为3.(2)由题意，随机变量X可能的取值为0 , 1 , 2 , 3, 4, 6.由事件的独立性与互斥性，得1111 1P(X = 0)蔦 X3 x；宁而31111211105P(X = 1) = 2 x-x-x-x +一xxx一 =总 3 4 3 4 3 4 3, 144723 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 11 2 1 225P(X = 2) = x_xx+_x_xx+_xxx+_xx x=4343 4343 4343 4343 1443 2 1 11 1 3 2121P(X = 3) = xxx+ xxx=4343434314412601445123 2 3 13 2 1 2P(X = 4) = 2 xxxx + 一xxx =宀
