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1、平抛运动小结（一）平抛运动的基础知识1. 定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。2. 特点：（1）平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。（2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为y = ax2+bx + c.（3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度a = g恒定，所以竖直方向上在相等的时 间内相邻的位移的高度之比为51：52：53=1：3：5-竖直方向上在相等的时间内相邻的位移之差是 一个恒量sm - sn = sn - s, =gT（4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为0）方向和位移方向（与水平方 向之间的夹角是8）
2、是不相同的，其关系式tan = 2tan tan 30 17?可以写出：1刃，所如=訂9.辟=妊，所以答案为。3. 从分解位移的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角的斜面 上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平方向和 竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫做“分解位移法”） 例3在倾角为Q的斜面上的P点，以水平速度向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q点, 证明落在Q点物体速度v = voA/l + 4tan2 a。解析：设物体由抛出点P运动到斜面上的Q点的位移是所用时间
3、为f,则由“分解位移法” 可得，竖直方向上的位移为h = lsiLia；水平方向上的位移为s = lcosa.又根据运动学的规律可得竖直方向上/?=丄刃，水平方向上$ =1,vv = 2v0 tanzh畀 v则 tana =S vor 2v0所以Q点的速度v = Jv： +叶=v071+ 4tan2 a 例4如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以人小相同的速度同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和E,两侧斜坡的倾角分别为37。和53。，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和E 两小球的运动时间之比为多少？图3解析：37。和53。都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可1
4、 ,以得到tana =上= 旦 所以有tan37 = 血x2v02v0同理tan53 = -贝Jr.= 9:162v04. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作岀的平抛运动的轨迹，常常不能 直接找到运动的起点(这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”)，这给求平抛运动的初速度带来了 很犬的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。例5某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知呂=无=。，儿=b , y2 =c,求。I X I X。IL十TYiY2一十一 T 一A| |十甘一 r 一i i i解析：A与E、E与C的水平距离相等，且平抛运
5、动的水平方向是匀速直线运动，可设A到E、E到C的时间为T,则x1 = x2 = v0T,又竖直方向是自由落体运动，则Ay=y2-yi = gT2代入己知量,联立可得:5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题例6从高为H的A点平抛一物体，其水平射程为2S,在A点正上方高为2H的E点，向同一方 向平抛另一物体，其水平射程为。两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过， 求屏的高度。解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们换一个角度，即从运动轨迹入手 进行思考和分析，问题的求解会很容易，如图5所示，物体从A、E两点抛出后的运动的轨迹都是 顶点在y轴上的抛物线，即可设A、E两方程分别
6、为y = ax2 +bx+c , y = afx2 +bx + cf则把顶点坐标A (0, H)、E (0, 2H)、E (2S, 0)、F (S, 0)分别代入可得方程组H r y = -X + H6,这个方程组的解的纵坐标y = -H9即为屏的高。y =对+2HU 56. 灵活分解求解平抛运动的最值问题例7如图6所示，在倾角为&的斜面上以速度水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最人，最大距离为多少？解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂一些，但 易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。取沿斜面向下为X
7、轴的正方向，垂直斜面向上为y轴的正方向，如图6所示，在y轴上，小球做初速度为vo SUl .加速度为- geos。的匀变速直线运动，所以有v; - (v0 sin 0)2 = 一2gy cos8 vv 一 sin 8 = 一g cosOt 当vy = 0时，小球在y轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。由式可得小球离开斜面的最大距离H = y= 心山“2gcos&当Vv = 0时，小球在y轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最人 距离的时间。由式可得小球运动的时间为/ = 土tan。g7. 利用平抛运动的推论求解推论1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直
8、角三角形。例8从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为片和冬，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90。？解析：设两小球抛出后经过时间4它们速度之间的夹角为90。，与竖直方向的夹角分别为&和0,对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7所示，由图可得cota = 和= rviSt又因为a + 0 = 9O。，所以cota = tan/7,由以上各式可得出=冬，解得心丄你订推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形推论3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。证明：设平抛运动的初速度为 ,经时间f后的水平位移为x,如图10所示，
9、D为末速度反向 延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有水平方向位移x = vot竖直方向vv = gf和y = i gt2v x由图可知，AABC与AAQE相似，则丄=,联立以上各式可得DE = -V.vy2该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。图10例10如图11所示，与水平面的夹角为0的直角三角形木块固定在地面上，有一质点以初速度从三角形木块的顶点上水平抛出，求在运动过程中该质点距斜面的最远距离。c V0解析：当质点做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，质点距斜面的距离最远，此时末速度的 方向与初速度方向成8角。如图12所示，图中A为末速度的反向延长线与水平位移
10、的交点，AB即 为所求的最远距离。根据平抛运动规律有：Vy = gt , X = vQt和土 =怕118Vo由上述推论3知OA = -9据图9中几何关系得 丽=AOsnW2由以上各式解得而=“ mOsin,即质点距斜面的最远距离为%2g2g推论4:平抛运动的物体经时间f后，其速度儿与水平方向的夹角为a ,位移s与水平方向的夹角为0 ,则有taiitz = 2tail证明：如图13,设平抛运动的初速度为,经时间f后到达A点的水平位移为X、速度为片，如图所示，根据平抛运动规律和几何关系：在速度三角形中tan a =工=空,在位移三角形中tan =上=5匚=旦%X 2v0/2v0由上面两式可得tai
11、l a = 2 tail /7例11 一质量为7的小物体从倾角为30。的斜面顶点A水平抛出，落在斜面上E点，若物体到达B点时的动能为35J,试求小物体抛出时的初动能为多人？（不计运动过程中的空气阻力）图14解析：由题意作出图14,根据推论4可得，tana = 2tan/? = 2taii30,所以tanz = 2 39由二角知识可得COS6Z = . 9又因为儿= 9所以初动能瓦人=WVq = Erb = 15丿V21COSQ221例12如图15所示，从倾角为&斜面足够长的顶点A,先后将同一小球以不同的初速度水平向右 抛出，第一次初速度为儿，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为4 ,第二次初速度冬， 球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为a.若冬儿，试比较勺和的人小。Vi图15解析：根据上述关系式结合图中的几何关系可得tan(a + Q) = 2tan9所以 a = arc tan(2 tail 0)-0此式表明G仅与&有关，而与初速度无关，因此0=0即以不同初速度平抛的物体落在斜 面上各点的速度方向是互相平行的。推论5：平抛运动的物体经时间r后，位移$与水平方向的夹角为0,则此时的动能与初动能的关系为 Ekt = EkQ(1 + 4tai
