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1、伽利略对接斜面实验新探伽利略对接斜面实验以小球沿斜面运动为情景， 以“没有摩擦”为理想条件，推论小球将上升到原来的高度或者沿水平面以恒定速度持续运动下去。 为再现这一经典实验情景， 笔者在探究该实验的实施条件的基础上， 研制了伽利略对接斜面实验仪，收到了令人满意的实验效果。现以“伽利略对接斜面实验新探”为题介绍如下，以求抛砖引玉。一、伽利略对接斜面实验一定要“没有摩擦”吗？人教版高中物理新教材是这样描述伽利略对接斜面实验的： “让小球沿一个斜面从静止状态开始滚下， 小球将滚上另一个斜面， 如果没有摩擦， 小球将上升到原来的高度。 减小后一斜面的倾角， 小球在这个斜面上仍达到同一高度， 但这时它
2、要滚得远些。继续减小第二个斜面的倾角， 小球达到同一高度就会滚得更远。若将后一斜面放平，小球将永远滚动下去。 ”这段描述看似合情合理， 与机械能守恒定律也相吻合，但分析小球滚动应具备的条件发现：如果没有摩擦，小球受力如图 1 示，重力和弹力的作用线通过球心， M0，小球转动的角加速度 M/I cO，因而无法由静止开始转动， 只能由静止开始沿斜图 1面滑动。可见，“没有摩擦”这一条件与小球从静止开始沿斜面G滚动是相矛盾的。如果说有摩擦力是小球从静止开始沿斜面滚动的必要条件， 那么，有摩擦的情况下，小球能否沿斜面上升到原来的高度或者沿水平面以恒定速度持续运动下去呢？不妨分四种情形加以讨论：(1)
3、、若小球及接触面为非刚性的，如图2 示，则接触面形变产生的滚动摩擦力矩M N2 将阻碍小球滚动，对滚动小球做图 2负功，令系统的机械能减小，小球不可能上升到原来的高度，也G不可能沿水平面以恒定速度持续运动下去。(2) 、如果斜面对小球的最大静摩擦力不足以阻止小球滑f动，则滑动摩擦力对小球做负功，系统的机械能逐渐减小，小球同样不可能上升到原来的高度， 也不可能保持初始的速度 （进图 3GNN1N2N入水平面时）沿水平面持续运动下去。(3) 、若小球及斜面均为理想刚体，且斜面对小球的最大静摩擦力足以使小球不沿斜面滑动。在重力的驱动下，斜面对小球施以图 3 示的静摩擦力 f 。以球心为参考转动轴，则
4、静摩擦力一方面促使小球沿斜面加速滚动， 其力矩对小球转动做正功， 且小球每滚动一周，角位移为 2 ， 摩擦力矩所做的功为W1 M 2R f ，其转动动能相应地增加2 R f 。另一方面，静摩擦力又阻碍小球平动，对小球平动做负功，且小球每滚动一周，球心位移S2R，静摩擦力做功W 2fS cos2Rf ，其平动动能相应地减少2 R f 。静摩擦力对小球做功的代数和为Wf = W1 + W2 =0，这就是说，静摩擦力总体上对小球不做功。此结论也可换个角度理解： 以接触点为参考转动轴， 由于小球与斜面的接触点相对斜面没有平动位移， 静摩擦力对转动轴的力矩也为零，因此，静摩擦力对小球不做功。同理，小球沿
5、斜面上滚的过程，静摩擦力对小球也不做功。可见，静摩擦力对小球不做功， 其作用效果仅仅促使平动动能与转动动能实现等值转化，并不改变系统的机械能，小球因机械能守恒而上升到原来的高度。(4) 、若水平面为非光滑的刚体，刚体小球由斜面滚入水平面是否受滑动摩擦力的作用呢？这取决于小球进入水平面时的初始状态。N设小球进入水平面时质心的初速度为VC，其转动角速度为 ，取初速度 V 的方向为正，则小球与平面的接触V C0CV0点 P 绕球心转动线速度 V0 - 0R，如图 4 示。由运动合P成规律可得：接触点 P 相对平面的瞬时速度图 4GVPVC +V0VC 0R（1）当 V C0 R，VP0，此时小球连滚
6、带滑，所受的滑动摩擦力向左，其作用效果是：一方面滑动摩擦力促使小球减速滑动， 另一方面滑动摩擦力促使小球加速滚动，此过程小球的机械能减小，最终使得 VP0，滑动摩擦力也因此消失为零，小球一直纯滚动运动下去，但此时小球的平动速度已小于初始速度VC 。当 V C0 R，VP0，此时小球连滚带滑，所受的滑动摩擦力向右，其作用效果是：一方面滑动摩擦力促使小球减速滚动，另一方面滑动摩擦力促使小球加速滑动，此过程小球的机械能减小，最终使得VP0，滑动摩擦力也因此消失为零，小球一直纯滚动运动下去，但此时小球的平动速度已大于初始速度VC。当 VC0R 时， VP0，小球沿水平面无滑动地滚动，不受滑动摩擦力的作
7、用。在确保小球由静止开始沿斜面做纯滚动的条件下， 小球纯滚动至斜面底端进入水平面时的质心初速度恰好为 VC 0R，因而小球不受滑动摩擦力的作用，此过程小球的机械能不变，将保持原有速度 VC继续沿水平面滚动下去。小球沿水平面做纯滚动时是否受静摩擦力作用呢？不妨假设小球受静摩擦力 f 如图 5 示。以球心为转动轴，由质心运动定理和转动定理可得：Nfmac(2)V CRfI c2 mR 2( 3)fP5G小球做纯滚动时acR(4)图 5联立、式可解得f2 f(5)5(5)式的结果显然是荒谬的，唯有f 0 时， (5)式才能成立。所作的假设不成立，这表明小球沿水平面做纯滚动时也不受静摩擦力的作用。可见
8、，小球由静止开始沿斜面纯滚动至水平面后， 既不受滑动摩擦力的作用，也不受静摩擦力的作用， 其机械能和角动量均保持不变， 小球将以恒定速度持续滚动下去。综上所述可知，伽利略斜面实验中的“没有摩擦”，可分二种情形理解：其一、在小球沿斜面滑动的情景中， “没有摩擦”才可理解为真正意义上的“没有摩擦”。其二、在小球沿斜面滚动的情景中， “没有摩擦”应理解为“没有滑动摩擦和滚动摩擦”，而非 “没有静摩擦”。当小球及斜面均为理想刚体，小球由静止开始沿非光滑斜面做纯滚动时， 小球同样可以上升到原来高度或者沿水平面以恒定速度持续运动下去。 一旦失去摩擦的作用， 小球便只能沿斜面滑动而不可能滚动，因此，“没有摩
9、擦”条件下的滚动之说是欠严谨、科学的。当然，高中物理教材没必要弄得这样复杂，不妨含糊一点，将“滚动”改为“运动”，这样既可维持“没有摩擦”的假设，渗透理想实验的思维方法，也可避免明显的纰漏（相对而言，粤教版高中物理新教材对伽利略斜面实验的描述较为巧妙得当一些）。二、伽利略对接斜面实验的近似实施上述探析也为伽利略对接斜面实验的近似实施提供了依据：其一、小球及斜面应力求趋近于理想刚体，其二、确保小球沿轨道做纯滚动。现代材料工艺为伽利略对接斜面实验的实施提供了近似条件，让钢球沿铝合金窗玻璃嵌槽上滚动，便十分趋近于理想刚体情形。那么，如何令钢球贴近纯滚动而不滑动呢？不妨再做番论证：沿斜面做纯滚动的钢球
10、受力如图 6 示，以球心为转轴， 重力及支持力对球心的力矩为 0，静摩擦力的力矩为 M=R f 。由质心运动定理可得：mg sinf mac(6)由转动定理可得：RNRfI c2 mR 2f(7 )5钢球纯滚动时，acR(8)联立 (6)、(7)、 (8)式可解得mg图 6f2 mg sin(9)ac5 g sin(10 )77由、式可知：斜面倾角 越大，钢球做纯滚动所需要的静摩擦力 f 越大，其质心的加速度也越大；当 0 时， f 0，a c0，这表明：钢球滚至水平面后不再受静摩擦力的作用， 将以恒定速度持续滚动下去； 要确保钢球沿斜面做纯滚动，其所需的静摩擦力 f 必须小于最大静摩擦力 N
11、 ，即2 mg sinmg cos由此解得2 tg(11)77查阅摩擦系数表可知，钢与铝之间的静摩擦系数约为0.21 ，由 (11) 式可算出小钢球沿铝合金斜面做纯滚动所对应的临界倾角为360，这就是说，让钢球沿小于 360 倾角的铝合金轨道由静止开始下滑，便可使钢球沿轨道只滚动而不滑动。依据上述分析及估算，笔者制作了如图7 示的伽利略对接斜面实验演示仪。演示仪的制作较简单，但必须注意下列要点：调控螺丝U 型铝合金滑槽调控螺丝轨道衔接钢片高度参照杆底座及支架图 7(1) 斜面应尽可能制作长一点，其倾角最好不要超过250。(2) 轨道衔接钢片的配接至关重要，既要有较强的劲度，又不可影响斜面倾角自
12、如调控， 既要稳固衔接， 又必须平滑过渡、 确保小球自如滚动而不可有撞击现象。(3) 整套装置应力求稳固，以免振动影响实验效果。为验证探研成果， 笔者特意用长线制作了一个摆球来进行对比实验： 让摆动小球与滚动小球同时运动，在前 20 30 次的往返运动过程中，摆动小球与滚动小球上升的高度几乎没有差别，在接下的 2030 次的往返运动过程中，摆动小球与滚动小球上升的高度也只呈现出微小的差别。实验结果表明： 在有限的时空条件下， 静摩擦力对系统机械能的影响仍是十分微弱的。据此有理由推论： 在理想刚体和没有空气阻力的条件下， 即便小球沿非光滑斜面运动， 只要确保小球做的纯滚动， 小球将上升到原来的高度或者沿水平面以恒定速度持续运动下去。
