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1、领军教育 一对一讲义二次函数（一）、课标要求具体内容知识技能要求过程性要求二次函数的定义、表达式二次函数的图象及性质二次函数图象的顶点、开口方向、对称轴二次函数的应用利用二次函数求一元二次方程的近似解知识点归纳：1、二次函数的定义一般地，形如yax2bxc(a，b，c为常数，a0)的函数，叫二次函数其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项2、二次函数的自变量的取值范围（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数如二次函数y2x2x1，y=x22，它们的自变量x的取值范围为全体实数（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义如
2、圆的面积S与圆的半径r的关系式Sr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r0，这里r不能小于或等于03、回顾学过的函数一次函数ykxb(k0)，其中包括正比例函数ykx(k0).反比例函数(k0)，二次函数yax2bxc(a0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系二次函数y=ax2bxc的图象与性质知识归纳:1、用配方法可把y=ax2bxc(a0)化成y=a(xh)2k的形式，因此y=ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形状相同，只是位置不同2、y=ax2bxc配方为，故抛物线y=ax2bxc的顶点为，对称轴为直线3、二次函数y=ax2bxc的图象与性质如下：
3、当a0时，抛物线y=ax2bxc的开口向上，时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点当a0时，若xh，则y随x的增大而增大；当x=h时，y有最小值k；当a0时，若xh，则y随x的增大而减小；当x=h时，y有最大值k3、抛物线y=a(xh)2k(a0)与y=ax2(a0)的关系抛物线y=ax2向右(h0)或向左(h0)或向下(k0)平移|k|个单位得抛物线y=a(xh)2k（二）、知识要点1.二次函数解析式的几种形式：一般式：（a、b、c为常数，a0）顶点式：（a、h、k为常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标。交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横
4、坐标，即一元二次方程的两个根，且a0，（也叫两根式）。2.二次函数的图象二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：左加右减，上加下减，具体平移方法如下表所示。在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个
5、点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。3.二次函数的性质函数二次函数（a、b、c为常数，a0）（a、h、k为常数，a0）a0a0a0a0图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时
6、，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大。(3)当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当xh时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当xh时，y有最大值4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a0，y有最小值，当xh时，；若a0，y有最大值，当xh时，。公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当5.抛物线与x轴交点
7、情况：对于抛物线当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。经典例题：二次函数图像与系数的关系1（2013昭通）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Aa0B3是方程ax2+bx+c=0的一个根Ca+b+c=0D当x1时，y随x的增大而减小2（2013义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：当x3时，y0；3a+b0；1a；3n4中，正确的是（）A
8、BCD3（2013烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=1，且过点（3，0）下列说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若（5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1y2其中说法正确的是（）ABCD4（2013济宁）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Aa0B当1x3时，y0Cc0D当x1时，y随x的增大而增大5（2013济南）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且1x10，1x22，下列结论正确的是（）Aa0Bab+c0CD4acb28a6（2013广安）已
9、知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1下列结论：abcO，2a+b=O，b24acO，4a+2b+cO其中正确的是（）AB只有CD7（2013鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象中，观察得出了下面五条信息：ab0；a+b+c0； a2b+4c0； 你认为其中正确信息的个数有（）A2个B3个C1个D4个8（2013滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（1，0）则下面的四个结论：2a+b=0；4a2b+c0；ac0；当y0时，x1或x2其中正确的个数是（）A1B
10、2C3D49（2013包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；4a+2b+c0；ab+c0；（a+c）2b2其中正确的结论是（）ABCD）10.在图中，函数y=ax2与y=ax+b的图象可能是( )11.求三角形面积的最值问题已知二次函数过点A(-1,0) B(3,0) C(0,3)求函数解析式在第一象限的抛物线上是否存在一点N，使得的面积最大，若存在，求出点N的坐标，若不存在请说明理。12.已知如图，抛物线与y轴交于点C（0,3），与x轴交于A,B两点，点A的坐标为（-1,0）.求抛物线的解析式及顶点坐标；设点P是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ABDC面积相等的四边形ACPB的点P的坐标；在的条件下，求的面积。二次函数与三角形形似问题图912如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结，求的大小；（3） 如果点在轴上，且与相似，求点的坐标.
