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1、宁 德 师 范 学 院毕 业 论 文 (设 计)专业 数学教育 指导教师 学生 学号 题 目 浅谈如何提高中学生数学思维能力 2011年5月27日 浅谈如何提高中学生数学思维能力 （宁德师范学院数学系 09级数学教育（2）班 福建宁德 352100） 摘要:介绍如何提高中学生思维能力的几点做法. 关键词:中学生 数学思维 思维能力 思维所谓的数学思维是指人们运用观察、分析、解决数学问题或类似于进行数学活动的思维方式来分析解决人类遇到的问题的思维活动.而对于中学生来说,数学思维的形成是建立在对初中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的,它是通过解决问题来实现的.思维能力不是先天就有的，也不是读几
2、本书就能得到的.从总体上说，需要在思维科学理论的指导下，经过长期的思维的实践活动，才能逐步锻炼培养.提高思维能力的过程，实际上是以思维能力为中心，诸能力互相促进、共同发展的过程.提高中学生的数学思维能力是一个复杂的、综合训练的过程.本文从培养学生观察能力、让学生注重记忆把握事物的规律、想象思维与抽象思维相结合、让学生掌握抽象思维的基本形式等五个方面的介绍、说明了如何提高中学生的数学思维能力.1 培养学生的观察能力有利于数学思维能力的提高1.1 观察是思维的知觉观察既是“思维的知觉”，是感知觉发展的最高形式，这种知觉就不是随意或模糊不清的.它是在综合视觉能力、听觉能力、触觉和嗅觉能力、方位和距离
3、知觉能力、图形辨别能力、认识时间能力等多种能力的基础上发展起来的，是根据一定的目的和人物进行的有计划的、比较持久的知觉.通过观察，可以帮助我们获得大量丰富的感性材料.心理学研究表明，人的大脑所获得的信息，百分之八、九十是通过视觉和听觉得来的.1.2 怎样培养中学生的数学观察能力数学中可以侧重于观察客观事物的数量关系和空间形式，在发掘数学对象的概念特征、事物的数量指标、算式的外形结构、图形的位置关系等方面多下功夫.也就是说，对所考察的数学对象，既要看整体、全貌，又要看局部、细节；既要看数字特点，又要看图形特征；既要看明显现象，又要看隐含本质；即要看一般属性，又要看本质属性；即要看共同之处，又要看
4、不同之点；既要看各自特征，又要看相互联系，等等.以下举两个例子说说怎样培养中学生数学观察能力以提高思维能力： 例1 计算 思考方法：拿到这道题后，如果不作仔细观察，就会按一般去括号，合并同类项的办法求解，计算比较麻烦.如果对算式的结构进行精心观察，就可用因式分解法较快的得解. 解法1 原式= = 0 解法2 原式 = 0通过比较解法1和解法2，明显得知解法2比解法1简便得多，通过有计划、有条理地观察算式的外形结构，进行积极思维，提高了数学思维能力. 例2 解方程 思考方法：本题似难入手，难处是底数不同.但是如果精心观察底数的数字特征，我们就可以发现，即，于是容易发现解题思路. 解 设 ，则 原
5、方程化为 解方程得 若 ，则若 ，则经检验，知2都是原方程的解从上面的例子可以看出，精心观察有助于活跃思维，把握事物的特征，找出简便的解题思路. 例3 证明：如图1，在ABC中，AB=AC=a，P为BC上任意一点，则PA+PBPC的值为定值. 图1. 图2. 思考方法：此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，如果仔细观察就会发现AB-AP=BD-PD，是此题关键的一步过A作ADBC，垂足为D，利用勾股定理表示出AB、AP的长，再根据D是BC的中点，整理得到AB-AP=PBPC，把AB=a代入求解即可证明 如图2，作ADBC交BC于D AB=BD+AD AP=PD+AD 由-得：AB-AP=B
6、D-PD AB-AP=（BD+PD）（BD-PD） AB=AC D是BC中点 BD+PD=PC，BD-PD=PB AB-AP=PBPC PA+PBPC=AB=要提高中学生的数学思维能力，就必须勤于观察，敞开观察的大门，让外界信息不断地进入大脑，提高思维的敏捷性和正确性，必须保证输入的信息是有系统、有条理的，而不是杂乱无章的，因此，中学生不但要勤于观察，而且要善于观察，把看和想结合起来，有目的、有计划、有条理地进行观察.这样，才有助于发现问题，积极思维.2 培养学生的记忆能力 把握事物的规律有利于数学思维能力的提高2.1记忆是思维的基础记忆是思维的基础.心理学实验表明，没有记忆，也就没有思维活动
7、可言.学习新知识时要知道温故而知新这点，只有把先前的反应结果有条不紊地保存在头脑中，才能使当前的反应在先前反应的基础上进行，使得这种反应更加全面，更为深入.从而也才能进行更复杂更高级的思维活动.2.2 把握事物的规律有利于中学生数学思维能力的提高在具体思维时，先前的反映结果与当前的反映，常常是通过由此及彼的联想来沟通联系的.数学中的不少问题，在精心观察的基础上，通过联想有关的解题技能和技巧，把握事物的规律，问题就容易得到解决. 例4 设A,B,C都是集合，证明:(1)A(BC) (AB)(AC) (2)(AB) (AC) A(BC) 思考方法：要证明（1）式成立，联想包含的意义，只要证明集合A
8、(BC)的任一个元素都属于集合(AB) (AC).同样，要证明（2）式成立，只要证明集合(AB) (AC)的任一个元素都属于集合A(BC).因此，整个证明可分为两步：第一步，对于任意A(BC)，证明(AB)(AC)；第二步，对于任意(AB)(AC)，证明A(BC).从而依集合相等的定义得证. 证明（1）设A(BC)，依并集和交集的定义，有 A(BC)A 或BC而 A BC (AB)(AC)这就证明了若A(BC)，必有因此 (2) 设,依交集合并集的定义，有 或而 ，由于, 这就证明了若,必有因此 综合（1）、（2），依两集相等定义，原题便得以证出.例4通过联想集合的包含和相等的定义，联想交集和
9、并集的定义，发现了解题思路.这就表明，在学习中要能活跃思维，在理解的基础上记住学过的数学知识是非常必要的.3 形象思维与抽象思维相结合有利于数学思维的展开与提高3.1 形象思维与抽象思维3.1.1 形象思维想象是思维的翅膀，如果没有想象参与，形象思维就难以进行，一般思维也就不能升华为创造性思维.从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则.这里所说的形象思维，是指凭借事物的表象而进行的思维.而“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性.由于中学几何的每一个定理都对应着一个图形.我们要求学生对
10、定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象.这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用.3.1.2 抽象思维抽象思维是思维的高级形式，又称为抽象逻辑思维或逻辑思维。抽象思维法就是利用概念，借助言语符号进行思维的方法。其主要特点是通过分析、综合、抽象、概括等基本方法协调运用，从而揭露事物的本质和规律性联系。从具体到抽象，从感性到理性认识必须运用抽象思维方法。这种思维包括概念、判断、推理等循序提高的各种形式.3.2 形象思维和抽象思维对于学习数学的积极意义3.2.1 形象思维对于学习数学有积极的意义事实上，抽象的数学理论，是以丰富、生动的具体材料为背景
11、的.学习数学，如果缺乏集体形象的支持，如果得不到形象思维的辅助，抽象思维是难以顺利进行的.例如：通过抽象思维去把握几何定理时，头脑中就要出现相应的几何图形的鲜明形象，并以它作为支柱展开积极的思维.以下举例几个中学定理：定理1：切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角.定理2：切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.定理3：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象.这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的
12、作用.以上定理对应的图形如下图3、图4、图5. 图3. 图4. 图5.随着想象的不断丰富，把形象和抽象思维结合起来，就能形成创造性的思维.这就是学习数学的一种宝贵品质.有了这种品质，在学习时就会对所学的知识进行创造性的加工，思考问题就能左右逢源，得心应手.例如：在解答数学题时，就不会拘泥于死板的解题模式，单纯地硬套公式，而能从不同的侧面深入思考，提出多种不同的设想，恰当地进行一题多解.3.2.2 抽象思维在中学数学中有着广泛的应用中学数学是在常数范围内展开的，它所研究的数量关系，主要还是常量；它所讨论的空间形式，主要还是固定的图形.这就使抽象思维成为中学生学习数学的必要工具.学习逻辑，掌握抽象
13、思维的基本形式，熟悉思维活动的基本规律，可以帮助中学生有效的提高数学思维能力.3.3 侧重在数和形的结合上提高数学思维能力在中学数学中，可以侧重于在数和形的结合上提高数学思维能力，具体地说，可以通过多种途径，丰富数和形的种种表象，不断地充实已有表象的数量，改善已有表象的质量，扩大已有表象的储备；丰富数学语言，提高一般语言与数学语言相互“转译”的能力，使想象具有更大的概括性、深刻性、和内在性；丰富生活经验，参加创造活动，有目的地捕捉数和形的形象.如以下例5：例5 如右图6O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=x，BC=y（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？（2）若x、y是方程2t-30t+m=0的两根，求x，y的值（3）求COD
