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1、Ch4、不定积分1、不定积分的概念与性质1、原函数与不定积分定义1：若fr(x)f(x)则称F(x)为f(x)的原函数。 连续函数一定有原函数； 若f(x)为f(x)的原函数，则F(x),C也为f(x)的原函数；事实上(F(x),CF(x)f(x) f(x)的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由f(x)-F(x)F(x)-F(x)f(x)-f(x)0，得F(x)F(x)=C111212故F(x),C表示了f(x)的所有原函数，其中F(x)为f(x)的一个原函数。定义2：f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记为Jf(x)dx，J-积分号，f(x)被积函数，x-积分变量。显然Jf(x)
2、dxF(x)+C例1、求下列函数的不定积分kdxkx,C1rxp+i,CpH1Jx卩dxp,1lnx,Cp12、基本积分表(共24个基本积分公式)3、不定积分的性质Jf(x)土g(x)dxJf(x)dx土Jg(x)dxJkf(x)dxJf(x)dx(k丰0)例2、求下列不定积分JJx-2dxx(-2”1,C,Cx2(2),1xxj2dx，1(-12)+1X(-12)+1+C51-x2dx，5arcsinx一3arctanx+Cxexdx2xln1lnx+C2scx(escxcotx)dx，csc2xdxcscxcotxdx，一cotx+cscx+Cdxsin2xcos2xsin2x+cos2x
3、dx，csc2xdx+sec2xdxsin2xcos2x，一cotx+tanx+Ccot2xdx，(sc2x一1，一cotx一x+Cx4dx1+x2x41+1dx1+x21)1+dx1+x21，x3x+arctan32、不定积分的换元法一、第一类换元法（凑微分法）1、fCax+b)dx，f(ax+b)d(ax+b),即dx，丄d(ax+b、求不定积分sin5xdxsin5xd(5x5丄sinuducos(5x)+CG2x)7dx，-G2x)7d(12x)，dxd(xa)(xa)2，arctandxdCxa)1Cxa)2，arcsinG-2x)7+116(20)(23)2、f(xxn1dx,即x
4、n-1dx，dx例2、求不定积分2x,xx1x2dx21+1322x2e-x3dx1cos丄dx一.f1cosd1-sin1+C1dx一d1x2xxIx丿Ix丿Ix2Ix丿e-x3dx3e-x33x(dx2cosxdx2sinx,Cdx2d3、1dxxdlnx,exdxdex,sinxdx-dcosx,cosxdxdsinx,sec2xdxdtanx,secxtanxdxdsecx,dxdarctanx,dxdarcsinx,dx土da2土x2,例3、求不定积分xdxtansinxdxdcosx-lncosxlnsecx(16)cosxcosxecxdxscxlnxxdxcosxdxdsinx
5、lnsinx,Clncosx,(17)sinxxdxsinxsecx(secx,tanx)dxsecx,tanxcscx(cscx-cotx),dxcscx-cotxd(secx,tanx)secx,tanxd(cscx-cotx)cscx-cotxln(secx,tanx),Cln(escx-cotx)+C(18)(19)dxdlnxlnvlnx),Clnxdxd(tanx+1)cos2xG+tanx)ln(tanx+1),Ctanx+1exddxJex)lnex),C1,ex1,exdxx-ln(,ex),C1,exexdxdexarctanex,C1,exe-221+xdx-Je-1+x
6、d一1,x2-e-i+xx2,C1,x2例4、求不定积分dx2a(1dx2a2222a(21)(22)1x一aln+222222x2一x一2Jdxx2+1一x一3=Jdxdx2222223dx1(x一一ln1+x2丿一3arctanx+C2222222x2dx=一2x+5dx2x2一2x+5dx(x-1)2+42221ln(x22x+523x1arctan+C22221一cos2x2xdx=Jdx1丄cos222xd(2x)=1sin2x+C42225xcos3xdx8x+2sin2x)dx1cos1618x一一cos2x+C4222JcotxdxlnsinxJcosxdxsinlnsin=J
7、dlnsinxlnsinxlnsinxdsinxsinx=lnlnsinx+Cdx1+sinx1一sinx,Jdx=Jsec2xdxdcosx+J=tanx一dxcosx+sinxcos2dx(x+n1厂nniJcscx+dx+24丿4丿cosxcos2x1(n、(n、1lncscx+一一cotx+一1+C24丿4丿,sin222222二、第二类换元法1、三角代换例1、Ja2一x2dx解：令x=asint(或acost)贝Ua2一x2=acost,dx=acostdt222222原式=Jacost-acostdt1+cos2t=a2Jdta2Jdt+丄Jcos2td(21)丿222a2a2t+
8、sin21+C2a2=arcsin2xa2xa2x2+，2，+Ca4a例2、Jarcsinx1+xa2dxdxax21x=arcsina2解：令x=asint原式=JacostdtJdt=tCarcsinacos例3、Jdxa2x2解：令x=atant(或acott)，a2x2=asect,dx=asec2tdt原式=Jasec2tdtseclnxx2=Jsectdt=lnsecttantC=lnx2例4、Jdxx2解：令x=atan(或a2tdtasect例5、Jdxx2解：令x=asect(或ax2cott)，=Jseccsct)，2=atant,dx=原式=Jasecttantdtata
9、nt=lnxx2一a(24)2sect,dx=2sec2tdttdt=lnsecttantC=lnasecttantdt=Jsectdt=lnsecttantC=lnx2(25)例6、J上二1dx解：令x，asect，dx，3secttantdt原式=3tan3sect-3sectttantdt，3tan2tdt，3(ec2t一1，3(tant一t)+Carccos3一9一3arccos+Ca2sin小结：f(x)中含有x2+a2可考虑用代换tanxxx2sec2、无理代换例7、dxxx原式=312dt,31211dt，3r1)t1+dt，31+t1+t1+1丿3t2dt3ln13x+1丿+C
10、则x，t3一1,dx(x+12-33x+1+3t2一t+ln2例8、3x则x，t6,dx，615dt原式=6t5dtt2dt6dt，6(t-arctant+Cxx例9、11+xdxxx2tdt解：令1+x2tdt1原式=,tt21t21(1)f1t1)1+dt2t+ln(121丿*2t+1丿dt2+Clndx解：令t,则lndx2tdt14、原式=,-2tdtdt2lnt1+Clntt21倒代换例11、,dxt21解：令t7dxdtt2原式,t6dt24lnx一lnt6-一lnM16+1)+Clnx6242424分部积分公式：(UV)例1、,xcosxdxxdsinxxsinx例2、,xexdxxde分部积分法UV+UVuvdxdxsinxdxxsin(UV)UVdx，UdV
