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1、第一节 不定积分的概念与性质教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。教学重点：原函数与不定积分的概念。教学难点：原函数的求法。教学内容：一、原函数与不定积分的概念定义 1如果对任一 xI ，都有 F ( x)f ( x)或 dF ( x)f ( x)dx 则称 F (x) 为 f ( x) 在区间 I上的原函数。例如： (sin x)cos x ，即 sin x 是 cos x 的原函数。 ln( x1 x2 )1，即1x 2ln( x1 x2 ) 是1的原函数。1x2原函数存在定理：定理：如果函数 f ( x) 在区间 I上连续，则 f ( x) 在区间 I 上一定有
2、原函数， 即存在区间 I 上的可导函数 F ( x) ，使得对任一x I ，有 F ( x) f (x) 。评注：如果 f ( x) 有一个原函数，则 f ( x) 就有无穷多个原函数。设 F ( x) 是 f ( x) 的原函数， 则 F ( x)C f ( x) ，即 F ( x)C 也为 f ( x) 的原函数，其中 C 为任意常数。如果 F ( x) 与 G(x) 都为 f ( x) 在区间 I上的原函数，则F ( x) 与 G( x) 之差为常数，即F ( x) G ( x)C（ C 为常数） 如果 F (x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，则 F ( x)C （ C
3、为任意常数）可表达 f (x) 的任意一个原函数。定义 2若函数 F(x) 是 f(x)在区间 I 上 的一个原函数，则表达式F (x) C （其中 C 为任意常数）称为fx 在区间 I 上的不定积分记作f (x)dx其中称为积分号， f x 称为被积函数，f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。x3)22dsx3C例 1：因为 (x ， 得x33例 2：因为， x0时， (ln x)1； x0 时， ln( x)11x( x)，得xx(ln | x |)1，因此有1ln | x |Cxdxx例 3：设曲线过点(1, 2) ，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。解：设曲
4、线方程为yf (x) ，其上任一点 (x, y) 处切线的斜率为dy2xdx从而 y2xdxx2C由y(1)2，得 C1，因此所求曲线方程为yx 21由原函数与不定积分的概念可得：df (x),df (x)dx f ( x)dx,f ( x)dxdxF ( x)dxF (x)CdF ( x) F ( x) CdxxC二、基本积分公式表1)kdxkxC(k 为 常 数 ) ， 2)xx 1C(1)， 3)dx1dxln | x |Cx4)dxarctan xC，5)dxarcsin xC，6）1x21x2cosxdxsin xC7）sin xdxcos xC， 8 ）dxsec2 xdxtan
5、xC，9）dxcos2 xcsc2 xdxcot xCsin 2 x10） secx tan xdxsecxC ，11） cscx cot xdxcscxC ,12)exdxexC13)axdxa xCln a5例 4：x 2x dxx 2 dx三、不定积分的性质性质 1 f (x)g(x)dx2 x 27C7f (x)dxg (x)dx性质 2kf (x)dxkf (x)dx ，（ k 为常数， k0 ）例 5：求x (x 25)dxx (x251解：5)dx( x25x 2 )dx51732 x3 x10 x x Cx2 dx 5 x 2 dx2 x 210 x2C7373例 6：求(x1
6、)3dxx 2( x 1)3dxx33x23x 1( x33 1解：x2x2dxxx2 )dx2 x2710 x 23Cx23x3ln | x |1C732x例 7：求(ex3cosx2 x ex )dx(x3cosxx)x3cos(2 )x解：2exedxe dxxdxedxex3sin x(2 e)xCx(2e) xe3sin xCln(2 e)1ln 21xx 2例 8：求x(1x 2 ) dx解：1 x x2(1 x2 ) x11x(1 x2 ) dxx(1x2 )dxx dx1x2 dxln| x|arctan xC例 9：求tan2 xdx解： tan2 xdx(sec2 x1)dxsec2 xdxdxtan xxC例 10：求sin 2x dx
