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1、高中数学解题方法上海市民远高级中学特级数学教师:张杰1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么? A表示函数y=lgx的定义域,B表示的是值域,而C表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 显然,这里很容易解出A=-1,3.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万小心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。3. 注意下列性质: 要
2、知道它的来历:若B为A的子集,则对于元素a1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a2, a3,an,都有2种选择,所以,总共有种选择, 即集合A有个子集。当然,我们也要注意到,这种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为,非空真子集个数为 (3)德摩根定律:有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过; 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a0) 在上单调递减,在上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想
3、到m,n实际上就是方程 的2个根5、熟悉命题的几种形式、 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质(高考经常考) 满足条件,满足条件,若 ;则是的充分非必要条件;若 ;则是的必要非充分条件;若 ;则是的充要条件;若 ;则是的既非充分又非必要条件; 7. 对映射的概念了解吗?映射f:AB,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有nm
4、个。如:若,;问:到的映射有 个,到的映射有 个;到的函数有 个,若,则到的一一映射有 个。函数的图象与直线交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)相同函数的判断方法:表达式相同;定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 函数定义域求法:l 分式中的分母不为零;l 偶次方根下的数(或式)大于或等于零;l 指数式的底数大于零且不等于一;l 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。l 正切函数 l 余切函数 l 反三角函数的定义域函数yarcsinx的定义域是 1, 1 ,值域是,函数yarccosx的定义
5、域是 1, 1 ,值域是 0, ,函数yarctgx的定义域是 R ,值域是.,函数yarcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域? 义域是_。 复合函数定义域的求法:已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的范围,即为的定义域。例 若函数的定义域为,则的定义域为 。分析:由函数的定义域为可知:;所以中有。解:依题意知: 解之,得 的定义域为11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例 求函数y=的值域
6、2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=-2x+5,x-1,2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂4、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y=,的值域。6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容例求
7、函数y=(2x10)的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数y=x+的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。例:已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上, 例求函数y=+的值域。解:原函数可化简得:y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。由上图可知:当点P在线段AB上时,y=x-2+x+8=AB
8、=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y=x-2+x+8AB=10故所求函数的值域为:10,+)例求函数y=+ 的值域解:原函数可变形为:y=+ 上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=AB=,故所求函数的值域为,+)。例求函数y=-的值域解:将函数变形为:y=-上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即:y=AP-BP由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P,则构成ABP,根据三角形两边之差小于第三边,有 AP-BPA
9、B= 即:-y(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有 AP-BP=AB= 。综上所述,可知函数的值域为:(-,-)。注:求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B在x轴的同侧。9 、不等式法利用基本不等式a+b2,a+b+c3(a,b,c),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例:倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况例 求函数y=的值域多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再
10、选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂 13. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (反解x;互换x、y;注明定义域) 在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题:(2004.全国理)函数的反函数是( B )Ay=x22x+2(x1)By=x22x+2(x1)C
11、y=x22x (x=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y=1,则反函数定义域为x=1, 答案为B.我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢?14. 反函数的性质有哪些? 反函数性质:1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称 互为反函数的图象关于直线yx对称; 保存了原来函数的单调性、奇函数性; 由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如(04.
12、 上海春季高考)已知函数,则方程的解_.1对于这一类题目,其实方法特别简单,呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x吗?那代进去阿,答案是不是已经出来了呢?(也可能是告诉你反函数的x值,那方法也一样,呵呵。 自己想想,不懂再问我 15 . 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负)判断函数单调性的方法有三种:(1)定义法:根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1的关系(2)参照图象:若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数)若函数f(x)的图象关于直线x
13、a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数)(3)利用单调函数的性质:函数f(x)与f(x)c(c是常数)是同向变化的函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c0时,它们是同向变化的;当c0时,它们是反向变化的。如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;(函数相加)如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘)函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。若函数u(x),x,与函数yF(u),u(),()或u(),()同向变化,则在,上复合函数yF(x)是递增的;若函数u(x),x,与函数yF(u),u(