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1、因式分解(1)知识点讲解知识点一:因式分解概念:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。1. 因式分解特征:因式分解的结果是几个整式的乘积。2. 因式分解与整式乘法关系:因式分解与整式的乘法是相反方向的变形多项式(和)因式掘整式乘法整式的积整式乘法(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2因 式 分 解a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)(a - b)2 = a2 一 2ab + b2a2 - 2ab + b2 = (a - b)(a + b)(a - b) = a2 - b2a2 - b2 = (a + b)(a - b)3 +
2、3 y)(x - 3 y) = x2 - 9 y2x2 - 9y2 = (x + 3y)(x - 3y)知识点二:寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因(约)数方法:(短除法)例如:求20,36,80的最大公(约)数?最大公倍数?2203680220210184021。1855920592J1942、寻找公因式的方法:48 _3a 2 y 3ay + 6 y ,xy3x3 y 2 ,927a(x 一 y)3 + b(x - y)2 + (x 一 y)3,- 27a% + 36a3b2 + 9a2b1.确定公因式的系数当多项式中各项系数是整数时,公因式的系数是多项式中各项 系数的最大
3、公因数;当多项式中各项系数是分数时,则公因式的系数为分数,而且 分母取各项系数中分母的最小公倍数,分子取各项系数中分子的最 大公因数。2.确定相同字母公因式的字母是各项都含有的字母3.看次数相同字母的指数取最低次数4.看整体如果多项式中含有相同的多项式,应将其看成整体不要拆开。5.看符号若多项式的首项是“_”,则公因式的符号一般为负。知识点三:因式分解的方法(重点)(一)因式分解的第一种方法(提公因式法)(重点):1. 提取公因式法:如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提到括号外面, 把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形,这种因式分解的方法叫做提公因式法。2. 符号语言:m
4、a + mb + mc = m(a + b + c)3. 提公因式的步骤:(1)确定公因式(2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式)另一个因式=原多项式公因式4. 注意事项:因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1:考察因式分解的概念1. (2017春峰城区期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是()A、x2 一 9 + 6x = (x + 3)(x 一 3) + 6x b、(x + 5)(x 一 2) = x2 + 3x 一 10C、x 2 - 8 x +16 = (x 一 4)2d、6ab = 2a 3b2. (2017秋抚宁县期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是()
5、A、x2 + 2x + 3 = (x +1)2 + 2B、(x + y)(x - y) = x2 - y2D、2x - 2y = 2(x - y)C、x2 - xy + y2 = (x - y)23. (2017秋姑苏区期末)下列从左到右的运算是因式分解的是(A、2a2 一 2a +1 = 2a(a -1) +1B、(x - y)(x + y) = x2 - y2C、9x2 - 6x +1 = (3x -1)2D、x2 + y2 = (x - y)2 + 2xyC、x 2 + x = x 2(1 + !) xD、2x2 - 8y 2 = 2(x + 2y)(x - 2y)4. (2017秋华德
6、县校级期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是(A、 3x + 2y 一 1 = 5x 一 1B、(3a + 2b)(3a - 2b) = 9a2 - 4b25. (2017春新城区校级期中)下列各式从左到右的变形是因式分解的是(6.A、C、a (a - b) = a 2 - abx 2 - x = x (x -1)(2016秋濮阳期末)下列式子中,B、a2 - 2a +1 = a(a - 2) +1D、xy2 - x2 y = x (y2 - xy)从左到右的变形是因式分解的是(A、(x -1)(x - 2) = x2 - 3x + 2B、x2 - 3x + 2 = (x -1)(x -
7、 2)C、x 2 + 4 x + 4 = x (x - 4) + 4D、x2 + y2 = (x + y)(x - y)模块2:考察公因式1.(2017春抚宁县期末)多项式15m3n2 + 5m2n 一20m2n3的公因式是(A、5mnB、5m2n 2C、5m2nD、5mn 22. (2017春东平县期中)把多项式一8a2b3c + 16a2b2c2 -24a3bc3分解因式,应提的公因 式是()A、一 8a2bcB、2a 2b 2c3C、-4abcD、24a3b3c33. (2017秋凉州区末)多项式a2 -9与a2 3a的公因式是(A、a + 3C、a 3B、a +1D、4.(2017春邵
8、阳县期中)多项式8xmyn-1 - 12x3myn的公因式是A、xmynB、xmyn-1C、4 xmynD、4 xmyn-15. (2016春深圳校级期中)多项式-5mx3 + 25mx2 - 10mx各项的公因式是()A、5mx2B、一 5mx3C、mxD、 5mx6. 下列各组代数式中没有公因式的是()A、5m(a 一b)与 b aB、(a + b)2 与一a bC、mx + y 与 x + yD、一 a 2 + ab 与 a2b ab 27. 观察下列各组式子:2a + b和a + b;5m(a 一 b)和a + b :3(a + b)和a b ;x2 y2和x2 + y2。其中有公因式
9、的是()A、B、 C、 D、模块3:利用提公因式法分解因式 因式分解的第一种类型:直接提取公因式1、分解因式:(1) x2 一3x(2) 2x2 +18x2y 4xy2(3) 6a(a + b) 4b(a + b)(6)xn xn1 + xn2(4) abc + ab2 一a2bc55 因式分解的第二种类型:变形后提取公因式2. 分解因式:(2)一a(x一y)一b(y_x) + c(x一y)(1)3a(x 一 y) 一 6b(y 一 x) 因式分解的第三种类型:分组后提取公因式3. 分解因式:(1)mx my + nx ny(2)2a + 4b 3ma 6mb模块4:提公因式法的综合应用类型1
10、:利用提公因式法进行简便计算(2)36.8x13 +13x20.2-2x1355 55551. 利用简便方法计算:(1)3.2x 200.9 + 4.7 x 200.9 + 200.9 x 2.1类型2:利用提公因式法进行化简求值2. 先分解因式,在计算求值:(2x -1)2(3x + 2) - (2x - 1)(3x + 2)2 x(1-2x)(3x + 2) 其中 x=1.53. (2016秋唐河县期末)已知:a-b = -2015,ab =-臾四,求a2b-ab2的值。20154.已知 a + b = -4,ab = 2,求多项式4a2b + 4ab2 - 4a - 4b 的值。5.若a
11、b2 +1 = 0,用因式分解法求-ab(a2b5 - ab3 -b)的值.6. 若 a2 + a 一 1 = 0,贝g a2016 + a2015 一 a2014 =。7. 不解方程组眼? ?,求7y(x-3y)2 -2(3y-x)3的值。I x 3 y = 1类型3:拔高培优题型8. (2015 杭州模拟)已知(19x一31)(13x 17) (17 13x)(11x一23)可因式分解成 (ax + b)(30x + c),其中a、b、c均为整数,求a + b + c的值。9.已知多项式x4 + 2012x2 + 2011x + 2012有一个因式为x2 + ax +1,另一个因式为 x2
12、 + bx + 2012 ,求a + b 的值。10.求证:32016 4x32015 +10x32014能被7 整除。11.已知 a,b,c 满足ab + a + b = bc + b + c = ca + c + a = 3,求(a + 1)(b + 1)(c +1)的值。(a, b, c都是正整数)12. (学霸题中题)若x2 -x-1是ax3 + bx2 +1的一个因式,则b的值为()A、 2 B、 1 C、0 D、213. (2017合肥月考*)要使多项式x2 2x n能分解为两个整系数一次多项式之积,则不大于100的自然数n的个数为()A、8B、9 C、 10D、 1114. (2
13、016秋靖远县期末)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1 + X + x(x + 1) + x(x + 1)2 = (1 + x)1 + X + x(X + 1) = (1 + X)2 (1 + X) - (1 + X)3(1) 上述分解因式的方法 ,共应用了 次。(2) 若分解1 + X + x(X + 1) + X(X + 1)2 +. + x(X + 1)2004,则需应用上述方法次,结果是。(3) 分解因式:1 + x + x(x +1) + x(x +1)2 +. + x(x +1)n ( n 为正整数)。一、选择题1. (2017开县一模)当a,b互为相反数时,代数式a2
14、 + ab 4的值为()A、4B、0C、 3D、 42. (2016秋乳山期末)边长为a,b的长方形周长为12,面积为10,则a2b + ab2的值为()A、120B、60C、80D、403. (2017春蚌埠期末)计算:(2) 2016 + (-2) 2017所得的结果是()A、 2 B、2C、 22016d、220164. (2017春乐亭县期末)(8)2。14+ (8)2013能被下列数整除的是()A、3 B、5C、7D、95. (2017春源城区校级月考)把多项式p2(a 1) + p(1 a)分解因式的结果是()A、(a 1)(p2 + p)B、(a 1)(p2 p) C、p(a 一 1)(p 一 1) D、p(a 一 1)(p +1)6. (2017春阳谷县期末)把xn+3 + xn+1分解因式得()A、Xn+1(x2 + 1) B、Xn (x3 + X) C、x(Xn+2 + Xn )D、Xn+1(X2 + X)7. (2017春北湖区校级期中)整式a2(a2