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1、机械优化设计1. 机械优化设计基本思路1.1优化问题概述在保证基本机械性能的基础上，借助计算机，应用一些精度较高的力学/ 数学规划方法进行分析计算，让某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标（外观、形状、结构、重量、成本、承载能力、动力特性等）获得最优值。机械优化设计的过程:(l)分析设计变量，提出目标函数，确定约束条件，建立优化设计的数学模型;(2)选择适当的优化方法，编写优化程序;(3)准备必须的初始数据并上机计算，对计算机求得的结果进行必要的分析。优化方法的选择取决于数学模型的特点，如优化设计问题规模的大小、目标函数和约束函数的性态以及计算精度等，在选择
2、各种可用的优化方法时，需要考虑的问题是优化方法本身的适应性和计算机执行该程序时所花费的时间和费用。一般认为，对于目标函数和约束函数均为显函数且设计变量个数不太多的问题，可选用罚函数法；对于只含有线性约束的非线性规划问题，可选用梯度投影法；对于函数易于求导的问题，可选用可行方向法；对于难以求导的问题则应选用直接法，如复合形法。1.2传统优化算法概述根据对约束条件处理的方式不同，可将传统的约束优化方法分为直接法和间接法两大类。直接法通常适用于只含不等式约束的优化问题，它是在可行域内直接搜索可行的最优点的优化方法，如复合形法、随机方向法、可行方向法和广义简约梯度法。间接法是目前在机械优化设计中应用较
3、为广泛的一种优化方法，其基本思路是将约束优化问题转化成一个或一系列无约束优化问题，再进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。如惩罚函数法和增广拉格朗日乘子法。1.2.1直接法推荐精选复合形法是一种求解约束优化问题的重要的直接解法，其基本思想是在 n 维设计空间内构造以 k 个可行点为顶点的超多面体，即复合形。对各个顶点所对应的目标函数值进行比较，将目标函数值最大的顶点，即最坏点去掉，然后按照一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点，并以此点代替最坏点，构成新的复合形。如此重复，直至复合形缩小到一定的精度，即可停止迭代，获得最优解。随机方向法是一种原理很简单的直接解法，其基本
4、思想是在可行域内任意选一初始点，然后利用随机数的概率特性产生若干个随机方向，并从中选出一个使目标函数值下降最快的随机方向作为搜索方向进行搜索。约束变尺度法是一种最先进的非线性规划计算方法，它将二次规划、线性近似、拉格朗日乘子、罚函数、变尺度以及不确定搜索这些方法有效地结合在一起，其基本思想是首先对优化问题产生拉格朗日函数，然后利用该函数在每个迭代点构造一个带有不等式约束条件的二次规划子问题，由于该子问题不易求解析解，所以只能借助于数值方法求解其极值，以每次迭代的二次规划子问题的极值解作为此次迭代的搜索方向，同时采用不精确一维搜索确定搜索步长因子，产生新的迭代点，经过一系列迭代后，最终逼近原问题
5、的最优解。广义简约梯度法是一种求解一般非线性规划问题的有效方法，其基本思想是在优化问题中引进松弛变量，在起作用的约束集合中，将不等式约束转化为等式约束，并且保留变量的上、下边界值，将原问题转化为只有等式约束和边界约束的数学规划问题。将设计变量分为基变量和非基变量两部分，利用目标函数对非基变量的简约梯度构造该次迭代的搜索方向，沿此方向进行一维搜索以确定步长，从而获得新的迭代点。对于非线性约束条件，需要不断运用牛顿法向边界投影，以确保起作用约束条件的交界处向最优点逼近。1.2.2间接法惩罚函数法（Sequential Unconstrained Minimization Technique，SUM
6、T），即 SUMT 是一种使用广泛的、有效的间接解法，其基本思想是将约束优化问题中的等式和不等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成一个新的目标函数惩罚函数，然后通过求解该惩罚函数的无约束极小值，以期望得到原问题的约束最优解。根据迭代过程是否在可行域内进行，惩罚函数又可分为内点推荐精选惩罚函数法、外点惩罚函数法和混合惩罚函数法三种。增广拉格朗日乘子法也是求解非线性优化问题的有效方法之一，其主要思想是把惩罚函数与拉格朗日乘子法相结合，即在惩罚函数中引入拉格朗日乘子或者说是在拉格朗日函数中引入惩罚项。当采用外点惩罚函数时，试图在惩罚因子不超过某个适当大的正数的情况下，通过调节拉格朗日乘子，
7、逐次求解无约束优化问题的最优解，并使之逐渐逼近原约束问题的最优解。1.3现代优化方法随着 20 世纪 70 年代初期计算机复杂性理论的形成，科学工作者发现并证明了大量来源于实际的组合最优化问题是非常难求解的，针对大规模组合优化问题，传统优化方法已显得无能为力了。20 世纪 80 年代初期，应运而生出现了一系列现代优化方法，如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。它们的共性是基于客观世界中一些自然现象，通过与组合最优化求解进行类比，找出一些共性，以此为基础建立相应的算法。这些算法的目标是希望能够求解 NP 完全问题的全局最优解，具有一定的普适性，可用于解决大量实际应用问题。其基本内容介绍如下。2.
8、 遗传算法遗传算法(Genetic Algorithm, GA)是模拟生命进化机制搜索和优化,并将自然遗传学和计算机科学结合的优化方法。美国Michigan大学的JOHNHHOLLAND (1975)首先提出了GA的概念和方法,其依据是以生物界中基因的遗传变异及达尔文的自然选择和适者生存原理,对问题进行随机的进化操作,逐步迭代寻求问题最优解的方法,目前应用范围几乎涉及到传统优化方法难以解决的优化问题。2.1遗传算法的基本概念一般的遗传算法由四个部分组成:编码机制、控制参数、适应度函数、遗传算子。(1)编码机制(encoding mechanism)GA不是对研究对象直接进行讨论,而是通过某种编
9、码机制把对象统一赋于有特定符号按一定顺序排成的串(string)。正如研推荐精选究生物遗传,是从染色体着手,染色体则是由基因排成的串。串的集合构成群体,个体就是串。在优化问题,一个串对应一个可能的解;在分类问题中,串可解释为一个规则。目前有二进制编码、实数编码、结构编码等。(2)适应度函数(fitness function)优胜劣汰是自然进化的原则。优、劣要有标准。在GA中,用适应度函数描述每一个个体的适宜程度。引进适应度函数的目的在于可根据其适应度对个体进行评估比较,定出优劣程度。适应度函数可分为原始适应度函数和标准适应度函数。原始适应度函数是问题求解目标的直接表示,通常采用问题的目标函数作
10、为个体的适应性度量;标准适应度函数是将原始适应度函数作一个适当的变换以转换成标准的度量方式,即皆化为极大化情形,并且适应值非负。(3)遗传算子(genetic operator)遗传算法有三个遗传算子:选择、交叉、变异。(a)选择算子也称复制(reproduction)算子,它的作用在于根据个体的优劣程度决定它在下一代是被淘汰还是被选择。一般的说,适应度高即优良个体有较大的选择机会,而适应度小即低劣的个体继续存在的机会也较小。选择策略有适应值比例选择、排名选择、局部竞争机制选择等。(b)交叉算子交叉的最简单方法是从群体中随机取出两个字符串(父辈个体),并随机确定一个交叉点,将交叉点两个字符串的
11、右段互相交换,从而形成两个新串(后代)。杂交方式一般有一点交叉、两点交叉、均匀交叉、基于顺序交叉等。(c)变异算子它的作用是随机地改变字符串的某个位置上的字符。如在二进制编码的字符串中,某位置字符0变为1,或1变为0。变异有均匀性变异、正态性变异、非一致性变异、自适应性变异和多级变异。(4)控制参数(control parameters)在GA的实际操作时,需适当确定某些参数的值以提高选优的效果。这些参数是:(a)字符串所含字符的个数L,即串长。(b)每一代群体的大小N,即所包含字符串的个数,也称群体的规模。(c)交叉率(crossover rate)Pc,即施行交叉算子的概率。(d)突变率(
12、mutation)Pm,即施行突变算子的概率。推荐精选根据经验,对于算子执行重叠的算法,即遗传操作产生的新的个体替代上一代中部分较差的个体,而生成新的种群,算法的主要控制参数取值范围一般为:N=20100,Pc=060095,Pm=0001001(或取1/L,此处L为串长);对于算子执行非重叠的算法,即用后代替换掉整个群体产生新种群,取值范围一般为:N=20100,Pc=0507,Pm=0204。2.2遗传算法的实现目前,遗传算法经过改进已有各种不同形式的遗传算法,一般把John Holland于1975年提出的遗传算法称作标准的遗传算法(Simple GA,简称GA),现就SGA应用在机械优
13、化设计的主要步骤简述如下。(1)建立优化数学模型。就是把机械设计的具体问题用数学关系表达出来及准确地描述出来。具体地讲,就是确定设计变量、目标函数以及约束函数。其数学模型为maxF(X)X=x1,x2,xnTstgu(X)0u=1,2,phv(X)=0v=p+1,p+2,p+m(2)编码的确定。遗传算法求解问题不是直接作用在问题的解空间上,而是利用某种编码表示。GA在求解之前,首先确定合适的编码方式,如二进制编码,将问题的所有设计变量编码成子串,再将子串连成一定长度的串,即染色体,一个串对应一个设计点,即设计空间的一个解。选择何种编码表示有时将对算法的性能、效率等产生很大的影响。(3)适应函数
14、的确定。适应值是对解的质量的一种度量,用以反映个体对问题环境适应能力的强弱。适应函数是个体竞争的测度,控制个体的生存的机会。一般以目标函数的形式表示。(4)选择策略的确定。选择体现了优胜劣汰的自然法则,适应值越高的个体被选择的机会就越多。一般采用适应值比例选择,具体地讲,个体的选择概率为pi=fi/ni=1fi,其中fi为个体的适应值,ni=1fi为个体适应值的总和。实践证明,不同的选择策略对算法的性能也有较大的影响。(5)交叉。交叉是遗传算法的重要的遗传算子,目的是产生新的基因组合,形成新的个体。推荐精选SGA采用的是一点交叉,即随机地在两个父串上选择一个交叉点,然后交换这两个对应子串。如设
15、两个父串为1=(10111010),2=(01011011),随机交叉点是5,交换1,2的子串(010)与(011)得到两个新串1=(10111011)和2=(01011010)。交叉体现了自然界中信息交换的思想。(6)突变。交叉完成后即可进行突变操作,突变是按位进行的,即以概率pm改变串上的某一位,以二进制串为例:串0101001突变0101101突变的目的在于增强GA的搜索最优解的能力,通过突变操作,可确保群体中个体的多样性,有效的防止算法的早熟收敛。但过多的突变会使GA退化为随机搜索。(7)终止判据的确定。目前,确定遗传算法终止条件的主要判据有以下几个:(a)判断GA进化是否达到了预定的
16、最大代数;(b)GA是否找到了较优的个体,即问题的较优的解;(c)个体的适应值是否已趋于稳定,而无改进。(8)最优解的确定:若找到的最优解或次优解满意,则结束;否则,修改数学模型或调整GA的各控制参数,直到求出最优解。2.3遗传算法的特点遗传算法具有十分顽强的鲁棒性，这是因为遗传算法与其它普通的优化搜索方法相比，采用了许多独特的技术和方法，其主要特点如下：（1）GA 的自组织、自适应和自学习性（智能性）。应用遗传算法求解问题时，在确定编码方案、适应度函数以及遗传算子后，遗传算法将利用进化过程中获得的信息自行组织搜索，由于基于自然系统的选择策略为“优胜劣汰”，因而适应度大的个体具有较高的生存概率。通常适应度大的个体具有更适应环境的基因结
