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1、在离散数学里用厶表示异或运算，用二表示两个集合的对称差运算。而在集合论里面来表示对称差，在上学期学的数字逻辑里面二表示异或运算。这些一样的符号在不同科目里面表示不一样的运算，一样的运算在不同科目里面用不同的符号表示，这将引起极大地混乱。这个时候直觉应该告诉我们，对称差跟异或有一定的关系。它们能扯上关系吗？其实在本质上它们是一样的。或者说在布尔代数里面的异或就是在集合运算的对称差。为了比较这两种运算，下面用的讨论中，厶用来表示对称差，二表示异或。下面是两个运算性质的比较，这能很好的说明它们就是同一个东西，只是教科书永远都要让我们认为它们是不同的东西。1.首先都看看这两个运算满足什么性质。最重要的
2、是交换律和结合律。即aAb=ba,(ab)c=aA(bc),ab=ba,(ab)c=a(bc);其次是它们都满足这个性质：aAa=?,aa=0;2.aA(aAb)=b,a(ab)=b3.女口果aAb=c,那么aAc=b,bc=a;女口果ab=c,那么ac=b,bc=a;就是说：如果aAb=c,那么a,b,c任何两个运算都等于剩下的那一个。如果ab=c,那么a,b,c任何两个运算都等于剩下的那一个。4.作为性质3的推广：如果80人4亠.，2./=an，那么a0,a1,.an中任何n-1个运算结果都等于剩下的那一个。如果a0二印二二a2二anj二an,那么a0,a1,.an中任何n-i个运算结果都
3、等于剩下的那一个。(事实上，这里a0,a1,.an不一定非零即一，可以推广到任何两个正整数，异或就推广为按位异或)。性质4,其实在我们高中的时候就已经接触过类似的东西了。那就是三角形的垂心。任何三个不共线的顶点均能连成一个三角形，这个三角形有一个垂心，垂心跟三个顶点组成四个顶点，这四个顶点中任何三个顶点连成的三角形的垂心是剩下的那个点。说得有点绕。意思就是这四个点中任意三个点均以第四个点为垂心。性质4是很有用的一个运算，张金上课时就提过，数据的备份与恢复就是依据这个原理进行的。下面是这个原理：如果有n个存满数据的服务器，如何对这些数据进行backup呢?最简单的方法就是准备n个服务器，分别备份原来n个服务器的数据，但是这是很耗资源的一种方式。有没有资源节约型的方式呢？哈哈，只需要一个服务器就ok了，怎么弄呢？把那n个服务器的数据按位异或结果按位放到这个服务器上，如果一旦其中任何一个服务器数据丢失，就可以用剩下的n个服务器的数据按位异或运算生成，这样就实现了一台机器对多台机器的数据进行备份。当然了，如果有两个服务器或者更多的服务器数据丢失的话，这种方法就没辙了。通常这种情况不会发生，只要把这些服务器在地理上分隔，一般的大灾难蔓延的距离就几百公里。两个相隔较远的地方的服务器同时出事的可能性太小了。因此，可以通过这样的方式备份。这也是数学应用于生活的一个例子。
