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1、多元函数的极值及其求法第H一讲二元函数的极值要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题.一.二元函数的极值定义设函数Zf(x,y)在点(Xo，y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有(x,y)(xo，yo),如果总有f(x,y)f(xo，yo),则称函数zf(x,y)在点(xo,yo)处有极大值；如果总有f(x，y)f(xo，yo),则称函数zf(x,y)在点(x
2、0，y。)有极小值.函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.例1.函数zxy在点(0,0)处不取得极值，因为在点(0,0)处的函数值为零，而在点(0,0)的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点.例2.函数z3x24y2在点(0,0)处有极小值.因为对任何(x,y)有f(x,y)f(0,0)0.从几何上看，点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面z3x24y2的顶点，曲面在点(0,0,0)处有切平面z0,从而得到函数取得极值的必要条件.定理1(必要条件)设函数zf(x,y)在点Gy。)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即fx
3、(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.几何解释若函数zf(x，y)在点(x0,y0)取得极值z0,那么函数所表示的曲面在点d02)处的切平面方程为zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)是平行于xoy坐标面的平面zz0.类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为fx(x0,y0,z0)0,fy(x0,y0,z0)0,fz(x0,y0,z0)0说明上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组:x0,y0);求得解(x1，yi),(x2,y2)(xn,yn)fy(x0,y0)0那么极值点必包含在其中，这些点
4、称为函数zf(x,y)的驻点.注意1.驻点不一定是极值点，如zxy在(0,0)点.怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题.定理2(充分条件)设函数zf(x,y)在点(xo,y)的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(Xo,yo)0,fy(x0,yo)0,令fxx(xo,yo)A,fxy(xo,yo)B,fyy(xo,yo)C,贝U(1)当ACB2o时,函数zf(x,y)在点(xo,yo)取得极值，且当AO时，有极大值f(xo,yo),当AO时，有极小值f(x),yo)；(2)当ACB2。时，函数zf(x,y)在点(xo,yo)没有极值；(3)当ACB20时，函数zf(x,
5、y)在点(x,y)可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论.求函数zf(x,y)极值的步骤：(1)解方程组fx(xo，yo)O,fy(xo.yo)o,求得一切实数解，即可求得一切驻点(xi,yi),(x2,y2)(xn,yn)；(2)对于每一个驻点(xi,yj(i1,2,Ln)求出二阶偏导数的值a,b,c;(3)确定ACB2的符号，按定理2的结论判定f(xi,yi)是否是极值，是极大值还是极小值；(4)考察函数f(x,y)是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点.例3.考察z疗7是否有极值.解因为，,2X2，12y2在X0)0处导数x收y2yv,x2y2不存在，但是对所有的(x,y)(0
6、,0),均有f(x,y)f(0,0)0,所以函数在(0,0)点取得极大值.注意2.极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样？例4.求函数f(x,y)x3y33x23y29x的极值._c2ccc解先解方程组fx3x26x90,求得驻点为fy3y26y07(1,0),(1,2),(3,0),(3,2)再求出二阶偏导函数fxx6x6,fxy0,fyy6y6.在点(1,0)处)ACB2126720)又A0,所以函数在点(1,0)处有极小值为f(1,0)5；在点(1,2)处)ACB2720)所以f(1,2)不是极值；在点(3,0)处)ACB2720,所以f(3,0)不是极值；在点(3,2)处)ACB
7、2720,又A0,所以函数在点(3,2)处有极大值为f(3,2)31.函数的最大值与最小值求最值方法：将函数f(x,y)在区域d内的全部极值点求出;(2)求出f(x,y)在D边界上的最值；即分别求一元函数f(x,i(x)f(x,2(x)的最值；将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值.实际问题求最值根据问题的性质，知道函数f(x,y)的最值一定在区域D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最值.例4.求把一个正数a分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大.解设x,y分别为前两个正数，第三个正数为axy)问题为求函数uxy(axy)
8、在区域D：x0,y0)xya内的最大值.x(a 2y x),因为-uy(axy)xyy(a2xy)x解方程组a2xx0，得x3a1yx3由实际问题可知)函数必在D内取得最大值,而在区域D内部只有唯一的驻点，则函数必在该点处取得最大值，即把a分成三等份，乘积（$3最大.另外还可得出，若令zaxy,则uxyz裳（一）3即vxyzxyz.3三个数的几何平均值不大于算术平均值.三.条件极值，拉格朗日乘数法引例求函数zx2y2的极值.该问题就是求函数在它定义域内的极值，前面求过在（0，0）取得极小值；若求函数zx2y2在条件xy1下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定义域上求极值，而只能在定义域的
9、一部分xy1的直线上求极值，前者只要求变量在定义域内变化，而没有其他附加条件称为无条件极值，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值.如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出zx2y2中，得zx2(1x)22x22x1成为一元函数极值问题，令zx4x20,得x求出极值为z()但是在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单，我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可不必先把问题化为无条件极值的问题，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法.利用一元函数取得极值的必要条件.求函数zf(x,y)在条件(x,y)0下取得极值的必要条件.若函数zf(x,y)在(xo,yo)取得所求的极
10、值，那么首先有(%,y0)0.假定在(x0,y0)的某一邻域内函数zf(x,y)与均有连续的一阶偏导数，且y(x0,y0)0.有隐函数存在定理可知，方程(x,y)0确定一个单值可导且具有连续导数的函数y(x),将其代入函数zfgy)中，得到一个变量的函数zf(x,(x)于是函数zf(x,丫)在(x0,y0)取得所求的极值)也就是相当于一元函数zf(x,(x)在x刈取得极值,由一元函数取得极值的必要条件知道dzdxdy fx(x0,y0) fy(x0,y0)dx0,x x0而方程(x,y)0所确定的隐函数的导数为dyx(x0,yo)dxxx0y(xo,yo)将上式代入fx(xo,yo)fy(xo
11、,yo)dyo中,得dxxxnxx0fx(xo,yo)fy(xo,yo)x(xo,yo)oy(xo,yo)因此函数zf(x,y)在条件(x,y)o下取得极值的必要条件为fx(xo,yo)fy(xo,yo)x%，yo)oy(xo,Yo).(xo,yo)o为了计算方便起见，我们令fy(xo,Yo)y(xo,Yo)则上述必要条件变为fx(xo,yo)x(xo,yo)ofy(xo,yo)y(xo,yo)o)(xo,yo)o容易看出，上式中的前两式的左端正是函数F(x,y)f(x,y)(x,y)的两个一阶偏导数在（x,y）的值，其中是一个待定常数.拉格朗日乘数法求函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的
12、可能的极值点.构成辅助函数F(x,y)f(x,y)(x,y),(为常数)求函数f对x,对y的偏导数，并使之为零，解方程组fx(x,y)x(x,y)0fy(x,y)y(x,y)0(x,y)0得x,y，,其中x,y就是函数在条件0下的可能极值点的坐标；如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定.拉格朗日乘数法推广求函数uf(x,y,z,t)在条件(x,y,z,t)0,(x,y,z,t)0丁的可能的极值点.构成辅助函数F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)1(x,y,z,t)2(x,y,z,t)其中1,2为常数，求函数F对x,y,z的偏导数，并使之为零，解方程组f
13、x1xf y1yf z1zft1t(x, y,z,t)2222xyzt0000(x,y,z,t)0得x,y,z就是函数uf(x.y,z,t)在条件(x,y,z,t)0,(x,y,z,t)0下的极值点.注意：一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出x,y,z之间的关系，然后再将其代入到条件中，即可以求出可能的极值点.例6.求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.解设长方体的三棱长分别为x.y,z,则问题是在条件2(x,y,z)2xy2yz2xza0下)求函数vxyz(x0,y0,z0)的最大值.构成辅助函数F(x,y,z)xyz求函数F对x,y,z偏导数，使其为yz2(yxz2(xxy2(x2
14、xy2yzz) 0z) 0 y) 02xz a(2xy 2yz 2xz a2) ?0,得到方程组(1)(2)(3)(4)(3)(2)即有,x(y z) y(x z), x yy(x z)z(x y), y z,由力得可得xyz,将其代入方程2xy2yz2xza20中，得6_xyza.这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处取得，即在表面积为a2的长方体中，以棱长为4a的正方体的体积为最大，最大体积为66_3V36,例7.试在球面x2y2z24上求出与点(3,1,1)距离最近和最远的点.解设M(x，y，z)为球面上任意一点，则到点(3,1,1)距离
15、为dJ(x3)2(y1)2(z1)2但是，如果考虑d2,则应与d有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取f(x,y,z)d2(x3)2(y1)2(z1)2)又因为点M(x,y,z)在球面上)附加条件为(x,y,z)x2y2z240.构成辅助函数222,222,、F(x,y,z)(x3)(y1)(z1)(xyz4).求函数f对x,y,z偏导数，使其为。，得到方程组2(x3)2x02(y1)2y02(z1)2z0222xyz4 (3) 从前三个方程中可以看出x,y,z均不等于零（否则方程两端不等），以作为过渡，把这三个方程联系起来，有故x3z,yz）将其代入x2y2z24中）得（3z）2（z）2z24）求出z扃，再代入到x3z,yz中，即可得E62_xSy
