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1、初三复习教案模块 几何证明与计算模块 第一讲 三角形中的几何证明与计算教学内容教学目标：1、熟练掌握全等三角形的判定与性质； 2、熟练掌握三角形相似的判定与性质，并能灵活转化相似比； 3、灵活应用等腰三角形、直角三角形的性质； 4、掌握添加辅助线的方法和技巧。重难点：1、 知识综合应用与转化；2、 添加辅助线的技巧和分析思路的把握。 知识要点1、三角形的边角关系（1）三角形任何两边之和第三边，任何两边之差第三边。（2）三角形的内角和等于，任何一个外角和它不相邻的两个内角的和；任何一个外角和它不相邻的内角。2、三角形全等的判定和性质（1）三角形全等的判定方法有、，直角三角形全等的判定除了上述方法
2、外，还有。（2）全等三角形的、分别相等。3、三角形相似的判定和性质（1）三角形相似的判定方法有、，直角三角形全等的判定除了上述方法外，还有。（2）相似三角形的相等，成比例，等于相似比，等于相似比的平方。4、三角形的中位线第三边，并且第三边的一半。5、三角形的外心是，它到的距离相等。6、三角形的内心是，它到的距离相等。7、勾股定理是指：。8、等腰三角形的“三线合一”是指：、互相重合。9、等边三角形的判定有：；10、相似三角形（1）三角形一边的平行线的性质性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线，截得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线，截得的三角形的三边与原
3、三角形的三边对应成比例。（2）三角形一边的平行线的判定判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 推论：如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【强调A字、8字型】（3）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。推论：两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等（4）相似三角形的概念及预备定理一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形
4、相似。对应边的比值叫做相似比。相似具有传递性：即两个三角形分别与第三个三角形相似，那么这两个三角形也相似。（5）相似三角形的判定a如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等,那么这两三角形相似.b如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两三角形相似.c如果一个三角形的三边与另外一个三角形的三边对应成比例,那么这两三角形相似.d直角三角形相似的判定定理： 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个三角形的斜边及直角边对应成比例,那么这两直角三角形相似.（6）相似三角形的性质a性质1: 相似三角形对应角相等,对应边成比例 相似三角形对应高的比,对应中线的比,
5、对应角平分线的比及周长比都等于相似比.b性质2: 相似三角形的面积的比等于相似比的平方例题经典例1：如图，中，的平分线与的外角平分线交于点。求证：点到三边、所在的直线的距离相等。证明：如图,过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N。 则垂线段PQ、PM、PN即为P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离。 P是ABC的平分线BD上的一点 PM=PQ P是ACM的平分线CE上的一点 PM=PN PQ=PM=PN P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。【点评】在对角平分线定理熟练的基础上，该题是很简单的，若是忽视了角平分线定理的应用，该题就会苦思不得其解。建议学生在审
6、题时，读到某个条件，脑海中要马上想到有关该条件的性质、定理及应用，这样做题才有“路”可寻。ABCDEM例2：已知：如图，在中，垂足为点，垂足为点，为边的中点，联结、。（1） 求证：为等腰三角形；（2） 求证：证明：（1）M为AB边的中点，ADBC， BEAC， ME=MD MED为等腰三角形 （2） MAE=MEABME=2MAE 同理， MAD=MDA,BMD=2MAD,EMD=BMEBMD=2MAE2MAD=2DAC 【点评】该题考查了直角三角形的性质以及角度的转化。第（2）问难度较大，由于题中的线段较多，因此很容易看混淆，因此在平时学习中一定要对性质定理对应的基本图形熟练。本题总结-遇中
7、点要对应到等腰三角形“三线合一”性质、直角三角形性质、中位线定理、重心性质等常见知识点来解答问题。ABCED例3：已知：如图，在中，（1） 求证：；（2） 当时，求证：证明：（1） ， （2） ，即。【点评】该题的难度中等，为一模考试中23题的常见题型。（1）较为简单；（2）在（1）的基础上通过二次相似证明角度相等，从而转化角度关系得到垂直。学生在学习过程中需要对旋转型的相似基本图非常熟练，而且要会灵活证明二次相似。例4：如图，在等腰中，,，点为腰中点，点在底边上，且.求：（1） 边上的高；（2） 求的面积；（3） 求的值.解：过点作于点.则（1） ， 在等腰中， 为腰中点 即边上的高为；（2
8、）由（1）得，则（3） =【点评】该题难点在于第（1）小题，好在题目要求求高，已经给出需要构造的辅助线了。作高后即可得到“一线三等角”基本图，进而解答该题。（2）问没有难度；（3）问在第一问基础上可以直接求值，也可以转化为求等角的正弦值。例5：已知：如图，在中，点为上任一点，于，于，为的中点。试判断是什么形状三角形，并证明你的猜想。解：是等腰直角三角形。连接AM，证明如下：， ，四边形是矩形 ，则， ，为的中点， ，是等腰直角三角形【点评】该题虽然说知识落脚点在于证明一组三角形全等，但还是有一定难度的。在等腰三角形中，联结顶点与底边的中点，利用三线合一的性质得到边与角的等量关系式将该题的难点转
9、换。其中根据矩形的性质得到两三角形的对应边相等也增大了该题的难度。在学习过程中，同学们应该多总结不同的基本图形对应的辅助线添加方法。例6：如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，它们的斜边长为，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、 (点不与点重合,点不与点重合)，设，。（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求与的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围. （3）以的斜边所在的直线为轴，BC边上的高所在的直线为轴，建立平面直角坐标系(如图2).在边上找一点，使，求出点的坐标，并通过计算验证。 （4）在旋转过程中,(3)中的等
10、量关系是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由. 解:(1)ABEDAE, ABEDCA BAE=BAD+45,CDA=BAD+45BAE=CDAG图1FEDCBA 又B=C=45 ABEDCA (2)ABEDCA 由依题意可知CA=BA= m=（1n2） (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=nm= m=n=Gyx图2OFEDCBAOB=OC=BC=1 OE=OD=1 D(1, 0) BD=OBOD=1-(1)=2=CE, DE=BC2BD=2-2(2)=22BDCE=2 BD=2(2)=128, DE=(22)= 128BDCE=DE (4)成立证明:如图,将ACE绕点A顺时针
11、旋转90至ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,ABH=C=45,旋转角EAH=90.FDHAGECB连接HD,在EAD和HAD中AE=AH, HAD=EAH-FAG=45=EAD, AD=AD.EADHADDH=DE又HBD=ABH+ABD=90BD+HB=DH即BDCE=DE 【点评】该题有一定的难度。（1）图中有两对“母子型”的相似三角形，根据三角形相似的传递性，三组三角形都相似；（2）建立在（1）中找到的相似三角形基础上来得到比例式从而解答问题；（3）、（4）分别从两个角度来证明三条线段是直角三角形的三条边，其中（3）中是代数方法，（4）中是几何法，注意此题辅助线的构造技巧，用到了旋转思想。 课后作业 1. 如图，是等边三角形，且（1）求证：；（2）若，求的长ADEBFC2. 在平行四边形中，求证：（1）；（2）；3. 如图，等腰中，垂直，点是上一点，延长至点，使.（1） 求证：四边形是菱形；（2） 如果，求证：.4. 如图，是直角三角形，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点。（1） 求证：；（2） 若是的中点，连接，与垂直吗？并说明理由。5. 如图（1），在和中，与交于，与、分别交于、(1)求证：；(2)如图(2)，不动，将绕点旋转到时，试判断四边形是什么四边形？并证明你的结论
