《选修第4课 法向量与空间角的计算y》由会员分享，可在线阅读，更多相关《选修第4课 法向量与空间角的计算y（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考直通车-2016届高考数学一轮复习备课手册第4课法向量与空间角的计算一、教学目标1 .知道直线的方向向量，会用待定系数法求平面的法向量；2. 会用两直线方向向量的夹角、直线方向向量与平面法向量的夹角以及两平面法向量的夹角求线线角、 线面角及二面角；3. 会用向量的平行或垂直来判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系。二、基础知识回顾与梳理回顾要求1、阅读教材第99页，了解如何用向量来研究空间的线面位置关系？要解决这个问题，首先我们要用向量 来表示直线和平面的“方向”，那如何刻画直线1方向向量？2、如何刻画平面的“方向”呢？为什么可以用平面的垂线的方向向量（即平面的法向量）来刻画平面的 “方向
2、”呢？通过研读教材第99页例1，掌握如何求一个平面的法向量。3、对于教材第100页的例2,在空间直角坐标系中，用什么样的方程才能表示一个平面？通过类比，在平 面直角坐标系中，二元一次方程A（x 一 x0） + B （y 一 y0） = 0表示什么呢？并思考已知平面内一点和平 面的法向量，这个平面是否唯一确定？4、阅读教材第101页，掌握如何用向量语言来表述空间的两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关 系，对于教材第104页的例4,仅有直线的方向向量与平面的法向量垂直，能否说明直线一定与平面平行？5、阅读教材第106111页，通过例1、2、3,掌握如何用空间向量的方法求解线线成角，线面成角，以
3、 及二面角的求法，理解向量语言表述空间的线面位置关系在求解过程中的所起的作用，重点研读第108页 两个平面所形成的二面角与两个方向量所形成的夹角之间的关系。要点解析1、待定系数法求平面的法向量时，首先要转化为法向量与面内的两条相交直线所在的方向向量垂直，其 次，由于平面的法向量不唯一，所以为了方便，在得到x，y，式之间的关系后，可直接赋值，以简化计算。2、由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以用平面的法向量来刻画了平面的方向，进而发现研究 空间线面位置关系，其实就是研究线线之间的关系。3、对于教材第104页的例4,在使用空间向量解决问题的时候，还要注意到条件的完整性和充分性，在得到NM A
4、D后，还需要强调MN不在平面CDE内，否则不能说明线面平行，进而启发学生，用空间向量解决问题的时候，仍需很好的运用数形结合的思想，借助图形自己“翻译”完成。4、在求两个平面所成的二面角的过程中，若两个平面的法向量“方向相反”则二面角的平面角与法向量 的夹角相等；若两个平面的法向量“方向相同”，则二面角的平面角与法向量夹角的补角相等。5、只有当直线与平面平行，平面与平面平行时，才有直线与平面、平面与平面间的距离，所以本质上也 就是求点到面的距离。三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅 部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知
5、识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学 生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。2、诊断练习点评题1：已知AB =（2,3,1），AC =。,5,3），则平面abc的单位法向量为.【分析与点评】（1）本题虽然简单，但学生会出现两种错误，填写平面的一个法向量；只填写一解。 其原因是审题不清或对单位向量、法向量理解不深刻.2 工 + 3 j + z = 0(2 )本题解法有二，一是设单位法向量为n广(X, j, z)，解方程组4x + 5 j + 3z = 0即可；X 2 + J 2 + Z 2 = 1二是先求出平面的一个法向量n，再利用公式n0= n .虽然方法二优于方法一,
6、但方法二容易漏解. n(3)由于平面的法向量有两个方向，故本题有两解，扼扼6， 6 I题2.在棱长为的正方体ABCD A1BC D】中，向量瓦1与向量ac所成的角为 .【分析与点评】(1)建系是解决空间角问题的常用方法，故本题用坐标法。对于正方体建系一般比较简单。(2)注意到本题的特殊性，作图后也可根据解决异面直线所成角的一般解法即平移为相交直线，再去解三角形可很快得出向量ba1与向量AC所成的角为600. _题 3.已知空间不共面四点 O、A、B、C, OA-OB=OAOC=OBOC=0,且IOAI = IOBI = IOCI,_AM=MB，则OM与平面ABC所成角的正切值是.【分析与点评】
7、(1) 本题一般方法仍是坐标法。(2) 结合本题再次强调直线方向向量和平面法向量的夹角与直线和平面所成角之间的关系。(3) 若将图形补形为一个正方体，用几何法可以作出所求的线面角，从而求出结果。题4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面 角的余弦值为.2答案为：3【分析与点评】(1) 要求学生画出正方体后思考用坐标法简单还是几何法简单；(2) 若用坐标法如何建系，使各顶点的坐标简单化；若用几何法，需先正确作出二面角的平面角，一般 情况下我们不提倡几何法，因为多数情况下作出二面角的平面角容易，但要想求得很困难，而且我们教学 要求中也不涉
8、及。例如下面的变式：【变式】：已知正四棱锥的的体积为12,底面对角线的长为2板6，则相邻两侧面所成的二面角等于.3、要点归纳(1 )平面的法向量有两个方向无数解，通常只要写出一个，因为同一个平面的所有法向量共线。求平面 的法向量是本节最基本的题型，因为无论是求线面角还是面面角都要先求平面的法向量。(2) 强化坐标法是解决空间角问题的常用方法。建系时要充分利用题中或图中的垂直条件，特别是当题 中或图中存在三条两两互相垂直的直线时，一般用这三条直线作为坐标轴。(3) 要重视图形在解题中的作用，有时画出图形后可很快得出答案，特别是填空题。对于解答题最好不 要用几何法，因为用几何法要注意一作、二证、三
9、计算”.四、范例导析例1、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，/BAC = 90, AB=AC=AA1 = 1,延长A1C1至点P,使 C1P=A1C1，连结 AP 交棱 CC1 于 D.(1) 求证：PB1 平面 BDA1；(2) 求二面角AA1DB的平面角的余弦值.【教学处理】第(1)题 学生自行完成；统计解题方法！第(2 )题 引导学生求出法向量，复习向量法求二面角的大小。【引导分析与精讲建议】(1)如何证明线面平行？有哪些方法？并比较那种方法更合适？(2)所求法向量的夹角是否是二面角的大小？(1)证明：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空
10、间直角坐标系 a1B1C1A，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0).在3AA 中有 C d = 1AA，即 D(0，1，1). AlB = (1,0,1)，疝二(0,1，1) , BP = ( T，2，0).设平 112121121r 3=，“3面BAD的一个法向量为n1 = (a，b，c)，则 ：111“.孑5 + 旋二0.令c=- 1，则 n =(1，1，_ l).n 畦-1乂( - 1)+1x2 + ( - 1)X0 = 0，.PB 平面BA D.1 匕X 11匕11(2)解：由(1)知，平面BAD的一个法向量n = (1，f，T)
11、又 如(1,0,0)为平面AA D的个法向11 匕X21量.cosn ，n= nn2 = 1=-12叫俱| ix| 3.2故二面角AA1DB的平面角的余弦值为日.3例 2：如图，三棱柱 ABC - A1BC，侧面 AAQf 底面 ABC，AAAC=AC=2，AB=BC，且 AB BC， O为AC的中点.（1）求证：A101平面ABC；（2）求直线AC与平面AAB所成角的正弦值；11（3）在BC1上是否存在一点E,使得0/平面A1AB，若不存在，说明理由：若存在，确定点E的位 置.【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点 评。也可在学生建系遇到
12、困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。【引导分析与精讲建议】1、强调统一用坐标法证明，（第一点证明也可用几何方法）第（2）（ 3）题可回避几何法的一作、二证、三计算；2、建系是解答本题的关键，建系的好与不好关系到解题的简与繁、错与对，图中虽然没有三线两两互相 垂直，但有面面垂直以及底面是等腰三角形的条件。教师要引导学生挖掘出这两个条件，然后再建系3、求直线A1C与平面A1 AB所成角的正弦值实际上就是求直线与法向量的余弦值，另外要注意取绝对值.4、第（3）题关键在于点E的坐标表示，后面就简单了.例3如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a （a0），PA平面AC，且P
13、A=1.（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2 ）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q,使得PQQD?（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQLQD时，求二面角Q-PD-A的大小.【教学处理】指导学生仔细审题，独立思考，回答提问，教师点评并板书解题过程。【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：问题1 ：当题中或图中存在三条两两互相垂直的直线时，一般用这三条直线作为坐标轴，请找出图中三条 两两互相垂直的直线？问题2 ：由于点Q的位置不完全确定，故设Q&, y,0）后又多了一个未知数y。这样就出现了两个参数，但 根据条件PQQD只能列出一个等式，如何处理这个等式？问
14、题3:列出等式后发现是一个关于y的一元二次方程，y的取值范围是什么？能用a0解吗？那怎么 办？问题4 :第（3）题直通车提供的答案缺点是：繁，既用到了平面向量中的一个课本例题，又出现了二面角 的平面角。优点是：不需要判断二面角是钝角还是锐角。用法向量做如何判断二面角是钝角还是锐角？ 【说明】：第（3）题中的二面角的平面角不是特殊角，故最好改为求二面角Q-PD-A余弦值的大小五、解题反思1、空间向量既可以进一步培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，也是在高考中出现频率较高的问题。要强化用坐标法求空间角的意识。2、要注意直线方向向量和平面法向量的夹角与直线和平面所成角之间的关系，两平面法向量夹角与二面 角之间的关系。3、几何法、纯向量法、坐标法是解决立体几何问题的三架马车，解题时要合理地选择使用。（执笔：江都育才中学王志光）
