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1、必修 第二章 基本初等函数（）基本题型分类题型一:指数与指数幂的运算和对数与对数的运算（一)化简求值：化简 1.解：.化简 2解：3化简 3.解:（二）含附加条件的幂的求值4.已知，求下列各式的值.（1）;(2)；.解:()由两边平方得:，即.(2)，.题型二：指数函数、对数函数、幂函数的定义5(1）下列以x为自变量的函数,其中为指数函数的是（ )A. C D.(2)如果函数是指数函数,则有（ ）. B. C. D.5解:(1)B;(2)C;由指数函数的三大特性：的系数为1;底数且的常数；指数位置上仅有自变量.【规律总结】系数为1；底数为不小于且不等于的常数;指数函数的指数仅有自变量函数是对数
2、函数，则实数 6解：解得：.【规律总结】判断一种函数与否为对数函数的措施：判断一种函数是对数函数必须是形如且的形式,即必须满足如下条件:7.函数是幂函数,且当时,是增函数,则的解析式为 .7.解：由于函数是幂函数,因此解得:;【规律总结】由幂函数的特性:指数为常数;底数为自变量；系数为1.题型三:指数函数、对数函数、幂函数的图象8.（1）函数的图象过定点 .8解：()令，,因此函数的图象过定点.【归纳总结】：函数恒过定点问题,令解出,则定点为(2)如图是指数函数(1）,（2)，(3)，(4)的图象，则与1的大小关系为( )A B.C. D（2)令，这时各自的函数值就是它们的底数，从而大小显而易
3、见；答案:9.(1)函数且的图象恒过点 (）如图所示的曲线是对数函数，,1图象，则与的大小关系为 .9.解：(1）令,，因此函数且的图象恒过点【规律总结】对数函数恒过定点问题()求函数且的图象过的定点时,只需令求出,即得定点为(2）令,这时各自的真数就是它们的底数,从而大小显而易见；答案:.10.如图所示,曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，相应于曲线的依次为（ )A, B. C. D.解：由幂函数的性质得：答案:D题型四：指数函数、对数函数、幂函数的性质(一)比较大小(1)已知，则的大小关系是( ）(） (） (C) （D)(1)解:D【规律总结】：1底数相似,指数不同,运用指
4、数函数的单调性解决；.底数不同,指数相似，运用指数函数的图象解决；在同一种平面直角坐标系中画出各个函数的图象,根据底数对指数函数图象的影响,按照逆时针方向观测，底数在逐渐增大,然后观测指数函数所取值相应的函数值即可3底数不同，指数也不同：采用中间量法取中间量,其中一种不小于，另一种不不小于1；或以其中一种指数式的底数为底数,以另一种指数式的指数为指数.例如要比较与的大小,可取或为中间量，与运用函数的单调性比较大小，与运用函数的图象比较大小.(2)已知alog2.6,b=log43.2,=.6，则()Aa B.ab C.bac Dca(2）解：【规律总结】:1.若底数为同一常数,则可根据对数函数
5、的单调性直接进行比较;2.若底数为同一字母,则可根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论;若底数不同,真数相似，则可以根据对数函数的图象进行比较;4.若底数和真数均不相似，则常借助1，等中间值进行比较()设，则的大小关系是（ )A . C. .()解:A【规律总结】：1. 若指数相似,底数不同,则考虑幂函数;2. 若指数不同，底数相似,则考虑指数函数；3. 若指数与底数都不相似，则考虑取中间量法;取中间量1，其中一种不小于,另一种不不小于1；或以其中一种指数式的底数为底数，以另一种指数式的指数为指数例如要比较与的大小,可取或为中间量，与运用函数的单调性比较大小，与运用函数的图象比较大
6、小.(二)求函数值域或最值11求函数在上的值域1.解：设,，因此函数在上单调递减，在上单调递增,当时，;当时，；因此函数在上的值域为【规律总结】求形如：函数的值域.使用“换元法”设,从而原函数变为有关的一元二次函数;由,求出的值域，即的范畴为,进而转化为求一元二次函数在上的值域此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想12.求函数的值域.12解:函数的定义域为R;设，因此,因此，所求函数的值域为【规律总结】求形如函数的值域使用“换元法”设,求出的值域，从而转化为在的值域（使用指数函数的单调性)13.已知满足不等式,求函数的最值3解：由得,则，即，；又令,，,则，【规律总结】求形如:时，函数的值域
7、使用“换元法”设，由，求出值域,即的范畴为,进而转化为求一元二次函数在上的值域.此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想14.求函数的值域.1解：设，从而,，,因此函数的值域为.【规律总结】求形如函数的值域使用“换元法”设，求出的值域，从而转化为求函数的值域.此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想(三)解不等式15.(1)已知,求实数的取值范畴.(1).解:，,;因此实数的取值范畴是.(2) 求不等式,且中的取值范畴.（2）.解：若,则，；若，则，；综上,当时,不等式，且中的取值范畴为;当时,不等式,且中的取值范畴为.【规律总结】形如的不等式,借助于指数函数的单调性求解；如果的值不拟定，需分
8、与两种状况讨论;2.形如的不等式,注意将转化为以底的指数幂的形式,再借助指数函数的单调性求解.16.解下列不等式(). .(1)解:解得：因此不等式的解集为(2). (，） .(2)解：若,则解得：;若,则解得：;综上,当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为【规律总结】1形如的不等式,可借助指数函数的单调性求解，若底数a的值不拟定,则需对其分a和01两种状况讨论.2形如的不等式,要一方面将b化为以a为底数的对数形式，再进行求解.形如的形式，可借助对数函数的图象求解.题型五：复合函数的单调性判断及应用1判断函数的单调性,并指出它的单调区间17解：令,得或函数的定义域为或,设,且,，,又；，因
9、此函数在上单调递增同理可证：函数在上单调递减因此函数的单调递减区间为;单调递增区间为【规律总结】嵌套式复合函数的单调性：“同增异减”.形如：，设为内函数，为外函数;当内函数和外函数在定义域内单调性相似时，此时这个复合函数在该定义域上为增函数,即“同增”;当内函数和外函数在定义域内单调性相异时,此时这个复合函数在该定义域上为减函数,即“异减”.形如:复合函数,先令求出函数的定义域，当时，若在定义域上为增函数，则复合函数在该定义域上为增函数,若在定义域上为减函数，则复合函数在该定义域上为减函数;若时,若在定义域上为增函数，则复合函数在该定义域上为减函数，若在定义域上为减函数，则复合函数在该定义域上为增函数.
