《85 空间直线、平面的平行(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《85 空间直线、平面的平行(解析版)（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、思维导图8.5 空间直线、平面的平行（精讲）平行的传递性：平行与同一宜线的两条宜线平行 棊車爭实4苻号丈”号凤触 f* df 叫四 |圧二皿IIPp 如果两个平面平行.如果另外两个乎面同时 立字*J和第三亍平面相交，那么它们的交线平行性质 定理符号队 Q 0/ =（11/ = /?= a/ b.两个平请车行其审-T平血7内的任意-零宜统都平打于另 亍平面两条直线鞍三个TffT面所就，戡得的对应线段成比例如果期个平血分别平行于第三个平面.那么这两个平面互相平行图示亠*叵f符号o密卫匚Q疣|戶二占=卫占三角形相似比中忖线面面平行的性质一EG阳竺亠丁空。构逍平行四边形 需国平石的传递性Q 耀靜常的性
2、质判定 定理如果一亍平而内的两条相交直线与另文字1个平面平行.那么这两牛平面平行O-zz夹在两个平行平面间的平行裁段和零鏡过平面外盒有且只荷-个平面与已知平面平行判定 定理亜& *符号 wa 吕甲口 , b匸且玄济b,书a川 a一条宜钱-与一个平面平疔.如果过这条直銭 立字的平面与此平面相交.则该直线与交銭平行 *E- 性质定理如果平面外-条直线与此平面内的-药卜如壯闾卄仆的砾边分别曲平拭恥这两相等或互补考法一 线面平行【例1-1 （2021 海原县第一中学高一期末）如图，正方体ABCD- ABCD中，E为DD中点.求证:BD / 平面 AEC 【答案】证明见解析.【解析】证明：连结BD与AC
3、交于点H，连结HE在BDD中，E,H分别为DD、BD的中点.得 EH /BD . 1又因为BD乞平面AEC， EH u平面AEC所以BD/平面AEC【例1-2】（2020 浙江高一期末）如图，四棱锥P- ABCD，底面ABCD为矩形，PD丄面ABCD，E、F 分别为 PA 、 BC 的中点(1)求证：EF / 面 PCD ；(2)若AB = 2 , AD = PD = 1，求三棱锥P BEF的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）12 【解析】（1）如下图所示，取PD的中点M，连接EM、CM因为四边形ABCD为矩形，则AD/BC且AD = BCE、M分别为PA、PD的中点，则EM/AD且EM
4、=丄AD2F为BC的中点，所以，EM/CF且EM = CF，所以，四边形CMEF为平行四边形, 所以，EF/CM EF 0 平面 PCD， CM u 平面 PCD，/. EF/ 平面 PCD（2）如下图所示，连接AF，取AD的中点N，连接ENE为PA的中点，所以，点P、A到平面BEF的距离相等,所以，V = V = VPBEFABEFEABFE、N分别为PA、AD的中点，则EN/PD且EN = 2PD = 2PD丄平面ABCD , :. EN丄平面ABCD.ABF 的面积为 S= AB - BF = x 2 x =abf 2222因此，V = V = V = S-EN = x x = -P -
5、 BEF A-BEF E - ABF 3 ABF3 2 2 12【一隅三反】1. （2020 陕西西安市高一期末）如图，在三棱柱ABC ABC中，侧棱AA丄底面ABC , AB丄BC ,D 为 AC 的中点， AA = AB = 2 ， BC = 3求证： AB / 平面 BC D ；答案】详见解析解析】如图所示连接BC与CB交于点0,连接0D,因为0, D为中点，所以OD/AB又OD u平面BC D， AB 平面BCD所以ABJI平面BCD2. （2021 全国高一课时练习）如图，在三棱锥S - ABC中，已知SAC是正三角形，G为SAC的重心,答案】证明见解析【解析】证明：连接ADT D为
6、SC的中点，G为SAC的重心,AG 2点G 一定在AD上，且-ad 3 T E为AB的中点，AE 1AB2又 AF 3 AB，.: AE - 2 AB，即 AF 232 AE 3AG _ AF ADAE则 GF /DE，丁 GF u 平面 SGF， DE W 平面 SGFDE/平面SGF3. （2020 咸阳市高新一中高一月考）正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上 各有一点P，Q，且AP DQ 求证：PQ/平面BCE .答案】证明见解析.【解析】如图所示，PM/AB交BE于M，作QNIIAB交BC于N，连接MNAQFBNE-正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB
7、 , AE = BD又 AP 二 DQ，二 PE = QB又 PM /AB /QN ，PM PE _ QBab7EbdQN 二 BQDCBDPM _ QNADCPM/QN且PM = QN，即四边形PMNQ为平行四边形，二PQ/MN又 MN u 平面 BCE，PQ 9 平面 BCE，a PQ/ 平面 BCE考法二 面面平行【例2】（2021 全国高一课时练习）如图，在正方体ABCD ABCD中，S是BD的中点，E，F，G分别是BC, 1 1 1 1 11DC, SC的中点，求证:R(1) 直线EG/平面BDDB；11(2) 平面 EFG/ 平面 BDDB .11【答案】(1)证明见解析；(2)证
8、明见解析.【解析】证明：(1)如图，连接SB，因为E, G分别是BC，SC的中点,所以 EG/SB.又因为SB u平面BDDB，EG 平面BDDB，1 1 1 1所以直线EG/平面BDDB.11(2)连接SD，因为F, G分别是DC，SC的中点, 所以 FG/SD.又因为SD u平面BDDB，FG 平面BDDB，1 1 1 1所以FG/平面BDDB，11由(1)有直线EG/平面BDDB；11又 EGu平面 EFG，FGu平面 EFG，EGnFG=G,所以平面EFG/平面BDDB .11【一隅三反】1. (2021 全国高一专题练习)下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出
9、平面ABC平面DEF的是【答案】B【解析】B中，可证ABDE, BCDF，故可以证明AB平面DEF, BC平面DEF.又ABQBC=B,所以平面ABC 平面DEF.故选B.2. (2021 全国高一课时练习)如图：在正方体ABCD ABC 中, E为DD】的中点.AB1)求证： BD / 平面 AEC ；(2)若F为CC的中点，求证：平面AEC/平面BFD .答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)连结BD交AC于0,连结EOD丄G.因为ABCD - A BC D为正方体，底面ABCD为正方形,对角线AC BD交于0点，所以0为BD的中点，又因为E为DD的中点，在中OE是ADB
10、D的中位线 OE/BD1又因为OE u平面AEC，BD匸平面AEC所以BD /平面AEC（2）证明：因为F为CC的中点，E为DD的中点，所以CFIIED、所以四边形CFDE为平行四边形，所以DF/EC又因为EC u平面AEC，DF匸平面AEC所以DF 平面AEC由（1）知BD/平面AEC又因为BD n DF二D,所以平面AEC /平面BFDPlB3. （2021 全国高一）如图所示，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、PA的中点，AC、BD交于点O.（1）求证：平面 PBC / / 平面 EFO ；（2）求三棱锥A - EFO与四棱锥P- ABCD的体积之比.1
11、【答案】（1）证明见解析；（2）16【解析】（1）T四边形ABCD为平行四边形，E、F为PD、PA的中点，AC、BD交于点O. EF/AD/BC又EF工平面PBC， BC u平面PBC. EF / / 平面 PBC ，又OE是厶PBD的中位线，OE /PB又OE农平面PBC，PB u平面PBC OE / / 平面 PBC ， EF u 平面 EFO，OE u 平面 EFO，EF n OE 二 E：平面PBC /平面EFO(2)T E、F、O 为 PD、PA、AC 的中点,SV 二 VAAFOA-EFOE-AFO SAACPVV1 A EFO E AFO = V V 8D - PACD - PA
12、CV1又 V 二 V 二-VD - PACP - ACD2 P - ABCD A EFO =V16P-ABCD考法三 平行的综合运用【例3】(2020 全国高一课时练习)如图所示，在正方体ABCDABCD中，E, F, G, H分别是BC, CC ,11 1 1 1C D ,A A 的中点求证：1 1 1(1) BFHD；1EG平面BBDD；11(3) 平面BDF平面BDH.11【答案】(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.【解析】(1)取BB的中点M,连接HM、MC,四边则HMCD是平行四边形，：HD MC .1 1 1 1 1 1又TMC BF,：BFHD .11(2) 取 BD
13、的中点 0,连接 E0、DO,则 0E DC , OE= DC .又 DGDC, D G= DC,1 1 2 1 1 1 2.OEDG, OE=DG, 四边形 OEGD 是平行四边形 ，：GED 0.1 1 1 1又 DOu 平面 BBDD,.EG 平面 BBDD.1 1 1 1 1(3) 由(1)知 DHBF，又 BDBD , BD、HD u 平面 HB D , BF、BDu 平面 BDF,且BD PHD =D , DB1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1PBF=B, 平面 BDF 平面 BDH.11【一隅三反】1. （2021 全国高一）已知直线a, b和平面a，下列命题中正确的是（）A.若a/a，b ua，则a/bB.若a/a，b/a，则a/bC.若 a/ b，b ua，则 a /aD.若 a / b，a /a，则 b /a 或 b ua【答案】D【解析】对于A,若a /a，b ua,则a / b或a与b异面；
