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1、word渤海大学学士学位论文 题 目：极限的存在性、求法、应用与推广学 校：渤海大学系 别：数学系专 业：数学与应用数学姓 名：王力学 号：031105069指导教师：金铁英 / 目 录引言 1、数列极限 2一、数列极限的定义与性质 2二、数列极限的存在条件 3三、数列极限的求法 4四、数列极限在购房按揭贷款分期偿还问题中的应用 7、函数极限 8一、函数极限的定义 8二、函数极限的与性质 9三、函数极限的存在条件 11四、函数极限的求法 12五、函数极限在求曲线渐近线方面的应用 24、数列极限和函数极限的关系 24完毕语 25参考文献 25极限的存在性、求法、应用与推广王力渤海大学数学系某某
2、某某121000 中国摘要：极限的概念是数学分析中最重要的概念。数学分析中有关函数有两种根本的运算，一种是微分、另一种是积分。他们都是用极限定义的。还有，当我们研究函数图形的性质时，一个重要概念是连续性。而连续性也是由极限定义的。极限是数学分析中一个最根本的运算。本文先研究离散的极限，即数列极限，再研究连续的极限，即函数极限，包括定义与性质、存在性、应用、求法以与求法的推广。关键词：极限 数列 函数 关系 求法 推广Existence of theorem limit Application and PromotionWang li(Department of Mathematic Bohai
3、University Liaoning Jinzhuo 121000China)Abstract：Limit concept isthe most importantconcept in the mathematical analysis. In the mathematical analysis the related function has twokind of basic operations, one kind is the differential, another kindis an integral. They all are define with the limit. Al
4、so, when westudy the function graph the nature, an important concept is acontinuity. But the continuity also has the limit to define. The limitis in the mathematical analysis a most basic operation. This articlefirst studies the separate limit, namely the sequence limit, thenstudies the continual li
5、mit, namely the limit of function, includingthe definition and the nature, the existence, the application, asksthe law as well as the asking method promotion.Key Words：LimitSequenceFunctionRelationsSolution methodPromotion引 言如果说数学分析就是一座高耸的大厦，那么极限理论就是它的基石。目前，极限的理论与方法已经成为一个内容丰富、X围广泛的综合性系统，其理论和实践意义上的重要
6、性在生产力和物质条件日益开展的当代社会显得越来越重要。极限是高等数学中的重要组成局部，它是研究高等数学中其它问题的重要工具。研究极限核心问题是极限的求法。因此，掌握极限的求法显得尤为重要。、数列极限一、数列极限的概念与性质一设为数列,为定数。假如对任给的正数，总存在正整数，使得当时有如此称数列收敛与，定数称为数列的极限。并记作：或存在极限的数列称为收敛数列。二常用极限：1、 2、 3、4、 5、 6、 7、三数列极限的性质：惟一性：假如数列的极限存在收敛，如此极限值惟一。有界性：假如数列有极限收敛，如此数列有界。保号性：假如0或0，如此对任何或，存在正数，使得当时有或。保不等式性：设与均为收敛
7、数列。假如存在正数，使得当 时有，如此。保序性：表述一：假如与且，如此，有表述二：给定两个数，假如对，且，如此。推广：假如，且，如此，有。迫敛性：夹逼定理设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，如此数列收敛，且推广：假如有两个数列与，且，有，又，如此。四四如此运算法如此：假如与均为收敛数列，如此也都是收敛数列，且有，假如假设与，如此也是收敛数列，且有由上述条件还可得到：，二、极限数列的存在条件一单调有界定理：在实数系中，假如数列单调上升下降有上下界，如此数列存在极限，既数列收敛。例1、证明存在。证明令 ，先证它单调上升 ，即单调上升。再证它有界，即有界。 由定理可知存在，其值为，即
8、。二柯西收敛准如此：数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有。例2、设，试证：存在。证明取，如此对任意的和都有，所以数列收敛，即存在。三、数列极限的求法一利用数列极限定义证明极限成立。例3、证明：证明不妨设，要使不等式成立，解得：，取，于是，有，即。小结：用定义证明极限的关键是适当放大所要估计的量，在适当放大时，也有细微的不同，这细微的不同引起解不等式的难易程度也不同。之后再解一个表达式求出，并且要注意的任意性。二利用数列极限四如此运算法如此求极限。、有理分式函数可用未知数的最高次方项去除分子，分母。例4、求极限解、分解因式例5、求极限解注：此题原本是型，但运用四如此运算法如此变
9、形后使此题求解更简捷。、分子有理化例6、求极限解小结：利用四如此运算法如此求极限的关键是将函数式拆成几局部，但要求各局部极限均存在且易求，这样可以节省解题时间。三利用数列极限迫敛性求极限。例7、求极限解设，有 由于 有： 因为，故由数列极限的迫敛性知：小结：利用这种方法求数列极限，要将原数列进展适当放缩，放缩后让原数列介于一个常数和另一个数列之间此时要求另一个数列要以常数为其极限值或介于两个极限一样的数列之间，再应用定理便可求出原数列的极限。四利用单调有界必有极限定理求数列极限。例8、设，数列定义如下：。证明：数列的极限存在，并求其极限。证明由平均值不等式故有下界。 此外由可得，故为递减数列。
10、 由单调性定理，收敛，记， 对递推式两边取极限，得，即。小结：定理只适合用于判别单调数列的收敛性，有很大的局限性。但对于递推数列此方法还是较为有效的。利用此定理解题，往往先用其证明极限存在，再设出极限，利用关系式求出极限。五利用级数收敛的必要条件求数列极限。例9、求极限解考察级数，令，如此，故级数收敛，小结：当级数收敛时，必有，比照拟复杂的借助级数收敛求极限有时比拟容易。但这种方法的局限性很大，只能用于极限为0的情况且需要计算另一个极限。四、数列极限在购房按揭贷款分期偿还问题中的应用。例10、设按揭贷款额为，月利率为，每月偿还额为常数，如此第个月的欠款为。1求2求出每月偿还额，使在个月后正好偿
11、还清全部按揭贷款本息。解1由此可以递推的导出：从而得到2从式可以看出，假如每月偿还额，如此欠款额将越来越大，在此情况下贷款永远还不清。假如，如此欠款恒为常数，仍然是还不清的。只有当时，由于，必存在，使，即在个月后可还清贷款本息。令，如此由式得，解得：、函数极限一、函数极限的概念一趋于时函数的极限 设为定义在上的函数，为常数。假如对任给的，存在正数，有，如此称函数当趋于时以为极限，记作：或。二趋于时函数的极限 设为定义在上的函数，为常数。假如对任给的，存在正数，时有，如此称函数当趋于时以为极限，记作：或。注：假如为定义在上的函数如此三趋于时函数的极限函数极限的定义 设函数在点的某个空心邻域内有定
12、义，为常数。假如对任给的，存在正数，使得当时有，如此称函数当趋于时以为极限。记作：或。四趋于时的左右极限 设函数在内有定义，为常数。假如对任给的，存在正数，是使得当时有，如此称数为函数当趋于时的左右极限，记作：或。右极限与左极限称为单侧极限。在点的右极限与左极限又分别记为：与注：函数极限与相应的左、右极限之间的关系：二、函数极限的性质上面共表示了六种类型的函数极限，下面以为代表来表示函数极限的性质。惟一性：假如极限存在，如此此极限是惟一的。局部有界性：表述一：假如存在如此在的某个空心邻域内有界表述二：假如，如此有。局部保号性：表述一：假如，如此对任何正数存在，使得对一切有。表述二：假如，且，如
13、此，有。保不等式性：设与都存在，且在某邻域内有，如此。保序性：表述一：假如与，且，如此，有。表述二：假如与，且，有，如此。迫敛性：设，且在某邻域内有，如此。四如此运算法如此：假如极限，如此：又假如，如此再假如，如此复合函数极限设复合函数。假如，如此三、函数极限的存在条件一设函数在点的去心邻域上有定义。如此极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在且相等即如此。例11、讨论极限是否存在解在点的左右两侧极限附近，当时有，当限定时有，故由迫敛性知：，从而，故不存在二海涅归结原如此设在内有定义。极限存在的充分必要条件是：对于任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等。即：有例12、讨论极限是否存在解 设如此显然有但，故由海涅归结原如此知：不存在。例13、极限存在，证明：。证明设，如此 故由海涅归结原如此知： 解得：，即。同理可证：三柯西收敛准如此设函数在内有定义。极限存在的充分必要条件是：任给，存在正数，使得对任何有：。例14、讨论极限是否存在。解取，对任何，设
