《巴拿赫空间上的有界线性算子》由会员分享，可在线阅读，更多相关《巴拿赫空间上的有界线性算子（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章巴拿赫空间上的有界线性算子线性算子非线性算子无界线性算子有界线性算子 1有界线性算子1.1有界线性算子的基本概念与性质定义11 设E及E 1都是实（或复的）线性空间，T 是由E的某个子空间D到线性空间E 1中的映射，如果对任意 工,y g D，有T （x + y ）= Tx + Ty则称T是可加的。若对任意的实（或复）数。及任意的 x g D，有T （ax ）=aTx则称T是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算 子。D中使Tx =e的元素x的集合称为T的零空间。设E 1是实（或复）数域，于是T成为由D到实（或复） 数域的映射，这时称广为泛函。如果T还是线性的，则称T 为线性泛函。泛
2、函或线性泛函常用/，g等符号表示。定义12 设E及气都是实或复的赋范线性空间，D为E 的子空间，T为由D到E 1中的线性算子。如果按照第六章 2.3定义2.6, T是连续的，则称T为连续线性算子。如果T 将D中任意有界集映成E 1中的有界集，则称T是有界线性算 子。如果存在D中的有界集A使得T（A）是E 1中的无界集， 则称T是无界线性算子。例1将赋范线性空间E中的每个元素%映成%自身 的算子称为E上的单位算子，单位算子常以/表示.将E中 的每个元素x映成。的算子称为零算子.容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是 连续线性算子.例2连续函数的积分f h）=L （t）dta是定义在连续函
3、数空间c a, b 上的一个有界线性泛函，也是 连续线性泛函.大例1、例2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又 是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理 1.3）.定理1.1设E, E 1都是实赋范线性空间，T是由E的 子空间D到气中的连续可加算子.则T满足齐次性，因此T 是连续线性算子.大推论 设E，气都是复赋范线性空间，T是由E的子空间 D到E1中的连续可加算子，且T(双)=iTx，则t满足齐次 性，因此T是连续线性算子.大定理1.2设E，E1都是赋范线性空间，T是由E的子 空间D到E1中的线性算子.则T有界的充要条件是存在 m 0，使得对一切 x e D，有 |TX - M
4、|x| .大大定理13设E，E1都是赋范线性空间，T是由E的子 空间D到E1中的线性算子.则下列性质等价：(i) T连续；(ii) 丁在原点9处连续；(iii) T 有界.由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在 原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条 件也与在中任一给定的点处的连续性等价.为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引 进一个重要的量一算子的范数.定义1.3设E，E1都是赋范线性空间，T是由E的子 空间D到E1中的有界线性算子.使- M|x|对一切x冬D 都成立的正数M的下确界称为T的范数，记为T .因M是集合叩侦e D, x 5 的一个上界，因此算子
5、T的范数Til作为所有上界M的下确 界也是上述集合的一个上界，而且由定义知，th是上述集 合的最小上界，即上确界，亦即supllTx IIx由此容易导出下列结论：(i)对一切x e D，有 Tx，|T|x|.大(ii)T H = sup |Z | = sup |Tx |x| 1x 11= 1xeDxeD现在举几个实例说明如何估计有界线性算子的范数及如何求出其范数.例3设I”）G, j = 1，2,-.n）为一给定的 x n方阵，司 均为实数，由等式门=zn a g G = 1,2,n）i ij jj=1定义了 一个由Rn到Rn的算子T : Tx = J .它将元素x = g,&，,&加成元素J
6、 = E ,、E）.在Rn中任取12 n12 n两个向量丁站），& ?），& n / a=1，2），由等打膈+诳卜八成+乙诳). I 司 k j j /| ij j . | ij jJ Tj Tj T可知，T是可加的，类似地可以证明T是齐次的，因此T是 线性算子，由柯西不等式，有丫2 &2.WI*时A12& 2ID. . .大j .故T有界，因此T连续，且例4 我们用C(-8, 8)表示定义在(-3, 3)上有界 连续函数构成的集，其中的线性运算与空间c a, b 的相同， 在C (8, 8)中定义范数如下：| = sup 俨Q(y E C(8, 8)3t 8则C (-8, 8)是一个巴拿赫空
7、间.大设 X G L(8, 8)，令y = Tx : y(y)= j 8 e-心(t)dtT是定义在L(8, 8)上而值域包含在C(-8, 8)中的线性算 子.再由(Tx )Q= y (s ) J8e *x (t )dt = J X (t)ST 1S可知，T有界因而连续，且例5 在内插理论中我们往往用拉格朗日公式来求已知连续函数的近似多项式.设尤c C侦b，在a,b中任取个点，作多项式、(t-t).(t -1)(-t).-t)l t (1k-1k+1n kt-1 ),( t)( t7.( t )其中k 1,2,.,n.再令y - Lx:乩）= x （t ） （t）ki则Ln是由Ca,b】到其自
8、身的有界线性算子，且范数满足nmax zatb 了 tk 1l (t)k（4）Ln的线性是明显的.今证Ln有界且等式（4）成立.令nmax zatb 7 k1那么Lxmaxa t bn zk k k1() a maxa t bL L(x )() n 00 I至于x 0在Z，b中其它点处的值则可以任意，但绝对值不能 超过1，并x 0 (t)保证在侦曰上连续.于是El (t Xgnl (t )k 0k 0k=1(6)L a由不等式(5)、(6)可得等式(4).例6设K(t, s)是定义a t b，a s b在上的连 续实函数.在空间c a，b 上定义如下的积分算子：y (t )= (Tx )()=
9、 jb K (t, s)x (s )dsaK (t, s dsT = max jb a t b a则T为Ca，b】到其自身的有界线性算子，且范数满足(7)显然T是Ca，b到其自身的线性算子今证T有界且|K (t, s ds等式(7)成立.令 r b a = max jbatb abK(t, s)/(ys|7x| = maxatbxQmax=a maxatbatb a故T有界且| a由于* 七屋认使得冬。2出是，的连续函数，故存在冬6=:K0,s）2o.作函数0pn其中d（t,e）为，与的距离，则气于侦对上连续，且为闭集，还有下列性质:=1, Z e e（X寸一切）T -l.t e & T go）L0由勒贝格控制收敛定理，当T00时，有ds = CL(T(p )( )= b Kt ,slp G)bK ,s) 。 n 00 nI 0 Ia于是=lim|T (t ) |印因此T =a .若原 e0 二中，则令 % = : K G s) 0.例7 在连续函数空间Chl中讨论微分算子T = d. 将在”上连续可微函数构成的集C1 L，1作为T的定义 域，则T是定义C1 k1在上，并在Ck1中取值的线性算子. 我们证明t无界.=L但取 x (t)= sin nt，贝gd .4sin nt = n cos nt = n sdt故T将C1 k1中的单位球面映成Ck1中的无界集.T无界.
