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1、等差数列、等比数列【高考考情解读】高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题1 an与Sn的关系Sna1a2an，an2 等差数列和等比数列等差数列等比数列定义anan1常数(n2)常数(n2)通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2an1anan2(n1)an为等差数列(
2、3)通项公式法：anpnq(p、q为常数)an为等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A、B为常数)an为等差数列(5)an为等比数列，an0logaan为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：aanan2(n1)(an0)an为等比数列(3)通项公式法：ancqn(c、q均是不为0的常数，nN*)an为等比数列(4)an为等差数列aan为等比数列(a0且a1)性质(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，则amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，则amanapaq(2)anamqnm(3)等比数列
3、依次每n项和(Sn0)仍成等比数列前n项和Snna1d(1)q1，Sn(2)q1，Snna1考点一与等差数列有关的问题例1在等差数列an中，满足3a55a8，Sn是数列an的前n项和(1)若a10，当Sn取得最大值时，求n的值；(2)若a146，记bn，求bn的最小值解(1)设an的公差为d，则由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，da1.Snna1a1n2a1na1(n12)2a1.a10，当n12时，Sn取得最大值(2)由(1)及a146，得d(46)4，an46(n1)44n50，Sn46n42n248n.bn2n5225232，当且仅当2n，即n5时，等号成立故bn的最小值为
4、32. (1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用(2)等差数列的性质若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列；aman(mn)dd(m，nN*)；(A2n1，B2n1分别为an，bn的前2n1项的和)(3)数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即SnAn2Bn(A2B20) (1)(2012浙江)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的
5、是()A若d0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d0D若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn是递增数列(2)(2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A3 B4 C5 D6答案(1)C(2)C解析(1)利用函数思想，通过讨论Snn2n的单调性判断设an的首项为a1，则Snna1n(n1)dn2n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d0，不妨设a11，d2，显然Sn是递增数列，但S110，d0，Sn必是递增数列，D正确(2)am2，am13，故d1，因为Sm0，故ma1d0，故a1，因为amam15，故amam12a1(2m1)d(m1
6、)2m15，即m5.考点二与等比数列有关的问题例2(1)(2012课标全国)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()A7 B5 C5 D7(2)(2012浙江)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.答案(1)D(2)解析(1)利用等比数列的性质求解由解得或或a1a10a1(1q9)7.(2)利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解S4S2a3a43a22a3a43a42，将a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化简得2q2q30，解得q(q1不合题意，舍去) (1)证明数列是等比数列的两个方
7、法：利用定义：(nN*)是常数，利用等比中项aan1an1(n2，nN*)(2)等比数列中的五个量：a1，an，q，n，Sn可以“知三求二”(3)an为等比数列，其性质如下：若m、n、r、sN*，且mnrs，则amanaras；anamqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列(q1)(4)等比数列前n项和公式Sn能“知三求二”；注意讨论公比q是否为1；a10. (1)(2013课标全国)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.(2)(2013湖北)已知Sn是等比数列an的前n
8、项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.求数列an的通项公式；是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由解设等比数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.由有Sn1(2)n.假设存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n2 012.当n为偶数时，(2)n0.上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k5考点三等差数列、等比数列的综合应用例3已知等差数列an的
9、公差为1，且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，从而Sn.(2)由题意知b14，b22，b31，设等比数列bn的公比为q，则q，Tm81()m，()m随m增加而递减，Tm为递增数列，得4Tm8.又Sn(n29n)(n)2，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使对任意nN*总有SnTm，则106. 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解
10、法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可 已知数列an满足a13，an13an3n(nN*)，数列bn满足bn3nan.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)设Sn，求满足不等式的所有正整数n的值(1)证明由bn3nan得an3nbn，则an13n1bn1.代入an13an3n中，得3n1bn13n1bn3n，即得bn1bn.所以数列bn是等差数列(2)解因为数列bn是首项为b131a11，公差为的等
11、差数列，则bn1(n1)，则an3nbn(n2)3n1，从而有3n1，故Sn13323n1，则，由，得，即33n127，得1n4.故满足不等式0an为递增数列，Sn有最小值d0an为递减数列，Sn有最大值d0an为常数列(2)等比数列的单调性当或时，an为递增数列，当或时，an为递减数列4 常用结论(1)若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn，仍为等差数列，其中m，k为常数(2)若an，bn均是等比数列，则can(c0)，|an|，anbn，manbn(m为常数)，a，等也是等比数列(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比数列，且公比为q.(4)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公差为qk.等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d.5 易错提醒(1)应用关系式an时，一定要注意分n1，n2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起(2)三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b，但三个数a，b，c成等比数列的必要条件是b2ac.1 已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3，2a
