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1、第3讲轴对称及轴对称变换考点方法破译1轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：关于某直线对称的两个图形是全等形；对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段 或延长线相交，那么交点在对称轴上2线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关 系：位置关系一一垂直；数量关系一一平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3.当已
2、知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小 值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以补齐”图形，集中条件.经典考题赏析【例1】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打洞，则纸 片展开后是（）OOOOOOOOOOOOCOOOOOOOO【解法才日导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D.【变式题组】01将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到 的 图形是（）02.（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D 落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完 后，剪一个直径在BC上的半圆，再
3、展开，则展开后的图形为()G(A) B凤厉 G(A)ABCD【例2】(襄樊)如图，在边长为个单位长度 得到 A B,则与点1的正方形网格中，将 ABC向右平移两B 关于x轴对称的点的坐标是()A.(0, 1) B.(1, 1) C.(2, 1) D.【解法指导】在 ABC中，点B的坐标为(一1, 1)，将ABC向右平移两个单位长度得到 A B ,C由点的坐标平移规律 可得B ( 1 + 2, 1)，即B (1 , 1)由关于x轴对称的点的坐标 的规律可得点B关于x轴对称的点的坐标是(1, 1)，故应选D.【变式题组】BAc01.若点P ( 2, 3)与点Q (a, b)关于x轴对称，则a、b的
4、值分别是()A . 2, 3 B . 2, 3 C . 2, 3 D. 2, 一 302.在直角坐标系中，已知点P ( 3, 2)，点Q是点P关于 右平移4个单位得到点R,则点R的坐标是x轴的对称点，将点Q向03.(荆州)已知点P (a+ 1, 2a 1)关于x轴的对称点在第一象 限，贝U a的取值范 围为【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC (/ACB = 90，沿线段CD折叠，使点B落在 B1 处，若/ ACB1 = 70 则 ACD =()A . 30 B. 20 C. 15 D . 10【解法指导】由折叠知/ BCD = Z B1CD.设/ ACD = x,则/ BCD = Z B
5、1CD = Z ACB1 + /ACD = 70 + x.又/ ACD +Z BCD = Z ACB ,即 x+（70+ x） = 90 故 x= 10故 选 D.【变式题组】01.（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D、C的位置.若/ EFB = 65则AED等于（）A . 70 B.65 C.50 D . 25 02.如图， ABC中，/ A = 30，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以 再一次对折，C点落在 BE上，此时/ CDB = 82则原三角形中B =BA为边,03.（江苏）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB AC）沿过点A的直线折 叠，使得AC
6、落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图）；再次折叠该三角形纸 片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸片后得到 AEF（如图）.小明认为 A E F是等腰 三角形，你同意吗？请说明理由.实践与 运 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的【例4】如图，在 ABC中，AD为/ BAC的平分线，EF是AD的垂直平点F处，折痕为BE（如图）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D 处，折痕为EG（如图）；再展平纸片（如图）.求图中/ a的大小分线，E为垂 足，EF交BC的延长线于点F,求证：/ B = /CAF .【解法指导】EF是AD的中垂线，则可得 AEF DEF,二/
7、 EAF =/ EDF.从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可证明：EF 是 AD 的中垂线，二 AE= DE, / AEF =Z DEF, EF= EF,AEFaA DEF，aZ 2+Z 4=/3,二/3二/B+Z 1, 二/2+Z 4=/B + Z 1 ,v / 1 = /2,A/ B = /4【变式题组】01 .如图，点D在么ABC的BC边上，且BC = BD + AD,则点D在 勺垂直 平分线上.第3题E第3题02.如图， ABC 中，/ ABC = 90 /C = 15 DE AC 于 E,且 AE = E图，若 AB = 3cm,贝 U DC =cm . 03.如图， ABC
8、 中，/ BAC = 126 DE、FG 分别为 AB、AC的垂直平分线，则/ EAG =.04 A ABC中，AB = AC , AB边的垂直平分线交AC于F,若AB = 12cm, BCF的周长为20cm，则 ABC的周长是cm.【例5】（眉山）如图，在333的正方形格点图中，有格点 ABC和A DEF,且 A ABC和A DEF关于某直线成轴对诳 请在下面的备用图中画出所有这样的 DEF.【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时， 通常 找图案居中的水平直线、居中的翌直直线或者斜线作为对称轴若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的 DEF如图所示；若以图案居中
9、的翌直 直线为对称轴，所作的 DEF如图所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作 的 DEF如图所示.【变式题组】01.（泰州）如图，在232的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的 ABC,请 你找 出格点图中所有与 ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角 形共有.02.（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；涂黑部分 成轴对称图形.如图乙是一种涂法，请在图1-3中分别设计另外三种 涂 法（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）用甲厢兀圈两【例6】如图，牧童在A处
10、放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？BJ【解法指导】所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM + BM为最小； 本题利用轴对称知识进行解答.解:先作点A关于直线CD的对称点A连接M为所A B交CD于点M，则点 求，下面证明此时的AM + BM最小.证明：在CD上任取与M不重合的点M , t AA关于CD对称，二CD为 线段AA的 中垂线，二 AM = AM, IM = A M 在么 A M B 中,有 ABv A M+ BM，二 A M+ BM v A M+ BM, 二 AM + BM v AM + BM，即AM + BM最小.【变式题组
11、】01.（山西）设直线I是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到I地 距离分 别为2千米、5千米，欲在I上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水.现在 如下四种铺 设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）02.若点A、B是锐角/ MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D,使四边 形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点.演练巩固反馈提高01.（黄冈）如图， ABC与么A B关于直线1对称，且/ A = 78 /C=48 则/ B的度数是（）.A. 48 B. 54C. 74 D . 78f第谭图02.（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB
12、，再以AB的中点 O为顶点把平角/ AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A .正三角形B .正方形C .正五边形D .正六边形03. 1是四边形纸片ABCD，图 其中/ B = 120 /D = 50若将其右下角向内折出 PCR，恰使 CP/ AB , RC/ 入。，如图 2 所示，则/ C =（）A . 80 B. 85 C. 95 D . 110 04.如图，阴影部分组成的图案既是关于X轴成轴对称的图形又是关于y轴 成轴对 称的图形，若点A的坐标是（1, 3），则点M和点N的坐标分别是（
13、）A. M（1, - 3） ，N （- 1, 3） B.M（- 1, - 3），N （- 1，3）C. M（ 1， 3） ，N （1，3） D.M（ 1，3），N （1， 3）05.点P关于x轴对称的对称点P的坐标是（一3, 5），则点P关于y轴 对称的 对称点的坐标是（）A.（3, 5） B.（5, 3） C.（3, 5） D.（5, 3）06.已知M （1 a, 2a+ 2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（）Aiv av 1 B1 a 1 D. a 107.（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是 .08.（贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为 cm
14、.09.已知点A（2a+ 3b, 2）和B（8, 3a+ 2b）关于x轴对称，则a+ b=10如图，在 ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且/ ABO = 20 / ABC = 45求BAC和/ACB的度数.11.如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个 球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A 球经过的路线，并写出作法.12 .如图，P为/ ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM BC于M， PN BA的延长线于N .求证：AN = MC .13.（荆州）有如图的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图 案都是轴对称图形,在网格中画出你拼成的图.（画出的两个图案不能全等）培优升级奥赛检测01.（浙江竞赛试题）如图，直线11与直线12相交，/ a = 60 点P在/ a内（不在1112上）. 小明用下面的方法作P的对称点：先以11为对称轴作点P关
