DFT栅栏效应分析

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1、目录一、引言2二、基本原理21.DFT 频谱分析原理22栅栏效应与分辨率5三、理论分析与设计81信号采样92序列 FFT93matlab 编程10四、仿真结果与分析12五、心得体会16六、参考文献17一、引言从直观上讲，时域分析清晰易见，示波器即可观察， 可读取脉宽，相差等信息。但对于信号的进一步分析， 比如探测各次谐波在所占的比重和能量分布，在时域就 力不从心了。由此，采用从连续时间傅里叶变换发展而 来的离散傅里叶变换DFT就很有意义了。通信系统中必 不可少的要使用频谱分析技术，例如频分复用技术。 频谱分析一般利用快速傅里叶变换FFT计算频率谱和功 率谱，可直接用来提取特征频率和频谱特征。但

2、)FT是 傅里叶变换的一种近似，与傅里叶变换存在差别，且具 有固有的局限：频率混叠、频谱泄露和栅栏现象，本文 着重研究的就是DFT栅栏效应。二、理论原理1.DFT 频谱分析原理所谓的信号的谱分析，就是计算信号的傅里叶变换。工程实际中，经常遇到的是连续信号Xa (t)，截取一段进行FT变换后其谱度函数Xa (jQ)也是连续函 数，因此起计算过程不便用于计算机实现。而DFT作为 一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为 分析离散信号和系统的有力工具。对于连续信号和系 统，可以通过Xa(t)时域采样，得到离散时间序列x(n)， 再对x (n)进行DFT，因此是一种近似的谱分析。一个连续信号X

3、a (t)的频谱可以用它的傅里叶变换表示成：X (jO )=a+8j x (t) e -jO t dt a8如果对该信号进行理想采样，可以得到采样序列：x ( n ) = x ( nt )a同样，可对该序列进行Z变换，其中T为采样周期:+8X (z)=乙 x (n) z n8当Z = ejw时，我们就得到了序列的傅里叶变换:+8X (e jw )=工 x (n )e jwn8其中w为数字频率，它和模拟频率的关系为:式中 f 为采样频率。上式说明数字频率是模拟频率s对 f 的归一化。同模拟域的情况相似，数字频率代表序 s列值变化的速率，而序列的傅里叶变换称为序列的频 谱。序列的傅里叶变换和对应的

4、采样信号频谱有下列对 应关系：1 p一 2冗nX (e )=乙 X (j)TaTg即序列的频谱是采样信号频谱的周期性严拓。从式 中可以看出，只要分析采样序列的频谱，就可以得到相 应的连续信号的频谱。注意：这里的信号必须是带限信 号，采样也必须满足Nyquist定理。在各种信号序列中，有限长序列在信号处理中占有 重要地位。无限长序列也往往可以用有限长序列逼近， 对于有限长的序列我们可以用离散的傅里叶变换DFT, 这一变换可以很好的反应序列的频域特性。并且容易利 用快速算法在计算机上实现当序列的长度是N时，我们 定义序列离散傅里叶变换为：X (k) = DFT x (n)=为 x (n )W Kn

5、Nn=0其中：2兀W = e jN，N它的反变换定义为：x (n) = IDFT X (k)=为 X (k )W -knNN k=0令z = w -k则有:NX(z)|z=WN-KN-1乙 x (n )W nkNn=0= DFT x(n)可以得到：X (k) = X (z)1 z = W -k = e jTNW -k是z平面单位圆上幅角为=空巴的点 NN就是将单位圆进行N等份的第K个点，所以，X(K)是Z变换在 单位圆上的等距采样。时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发 生频谱混淆：同样，在频域进行采样的时候，只要采样间隔足够 小，就不会发生混叠。DFT是对序列傅里叶变换的等距采样，因

6、此可以用于序列的频谱分析。在运用DFT进行频谱分析的时候可 能存在栅栏效应误差。2.栅栏效应与分辨率(1)栅栏效应的定义由于 x (t) 为非周期的连续信号，它的频谱是连续的，但将 ax (t)采样，截断然后进行DFT分析时，得到的仅仅是连续信号a频谱上的有限个点，而有一部分频谱分量将被挡住，好像是通过 栅栏观察频谱，这种现象称为栅栏效应。DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，是一些离散的点，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用 DFT 来观察频谱就好像通过一个栅栏观看一个图景一样，只能在离散 点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点 被栅栏所拦住，不可能被我们

7、观察到。不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。只是 当时域采样满足采样定理时，栅栏效应不会有什么影响。而频域 采样的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成分有可能 是重要的或具有特征的成分，使信号处理失去意义。减小栅栏效 应可用提高采样间隔也就是频率分辨力的方法来解决。间隔小， 频率分辨力高，被“挡住”或丢失的频率成分就会越少。但会增 加采样点数，使计算工作量增加。解决此项矛盾可以采用如下方 法：在满足采样定理的前提下，采用频率细化技术(ZOOM),亦 可用把时域序列变换成频谱序列的方法。(2)栅栏效应的成因以及危害图 栅栏效应的成因以及栅栏效应造成的后果栅栏效应是制约频谱分析谐

8、波分析精度的一个瓶颈。栅栏效 应在非同步采样的时候，影响尤为严重。在非同步采样时，由于 各次谐波分量并未能正好落在频率分辨点上，而是落在两个频率 分辨点之间。这样通过FFT不能直接得到各次谐波分量的准确值, 而只能以临近的频率分辨点的值来近似代替，这就是栅栏效应降 低频谱分析精度的原因。3）降低栅栏效应的方法根据前面分辨率的讨论，减小栅栏效应可用提高采样间隔也 就是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力高，被“挡 住”或丢失的频率成分就会越少。具体方法如下：针对于有限长序列，为了克服栅栏效应，即检测出被遮挡的 频率分量，可以通过对序列尾部补零的方式进行。这相当于栅栏 效应的缝隙间隔缩短了，

9、因此栅栏效应有所改善。对无限长序列，可以增加取样点数，即增加数据的有效长度 来提高分辨率来降低栅栏效应的影响。（4）分辨率频率分辨率的定义A F=竺二亠=丄2兀 N NT Tp称A F为频率分辨率，即：采样率/采样点数；A F越小，说 明分辨率越高。AF仅与信号的实际长度成反比，即信号持续时 间越长，频率分辨率越高。频谱分辨率包括两种分辨率：a：物理分辨率=采样频率/采样点数。物理分辨率的实际意义在于它可以衡量 DFT 可以区分的频 率分量的间隔。提高物理分辨率的方法一般是通过增加数据的有 效长度。这相当于在模拟域增加了矩形窗的宽度。从而在模拟域 减小了 sine主旁瓣宽度，减小了相邻频率分量

10、的混叠。这种增加采样点的方法主要针对无限长序列的FFT计算。对于无限长序列，不像有限长序列那样必须补零来提高视在分辨 率，无限长序列可以通过增加数据长度来提高物理分辨率。 b：视在分辨率=采样频率/分析点数在序列尾部补零的方法可以使得分析点数增大。故补零的方 法可以提高频谱的视在分辨率。对序列的尾部补零的方法主要针 对有限长序列。对于有限长序列，有时只能用补零或者插值来改 善频率分辨率。通过补零处理，使得频域采样密度增大，得到高 密度谱。补零的方法所得到的频谱图所改善的只是图形的视在分 辨率，并不能得到频谱的更多细节。改善分辨率的途径增加采样点数，增加了输入序列的阶次，从而提供频谱的更 多细节

11、，这是真正的分辨率（物理分辨率）。对序列只补零而不 增加数据，输入序列和它的频谱阶次依旧没有提高，只是把频谱 画的密一些，所以改善的只是图形的视在分辨率，并不能得到频 谱的更多细节。增加序列的长度能够改善频谱的分辨率，这是基 本的规律。上面的讨论可知，改善分辨率的具体方法有如下两种（1）对有限长序列采取尾部补零的方法提高视在分辨率（2）对无限长序列通过真正增加采样点来提高物理分辨率三、理论分析与设计技术参数：信号包含 三种频率成分 ，分别是 f1=20HZ、 f2=20.5HZ、f3=40HZ,采样频率 fs=100HZ最小记录点数易知是fs/ (20.5-20) =200,因此当频域采样点

12、数 N=200 时,不出现栅栏效应,而当 N200 时,会有栅栏效应 误差出现。为了更好的分析 DFT 栅栏效应, DFT 分三种情况： 在128点有效数据不补零情况下的分辨率,在 128点有效数据且 补零至512点情况下分辨率,在512点有效数据下分辨率。1. 信号采样频谱分析时给出连续时间信号,需要根据其最高频率确定采 样频率,否则将出现频率混叠现象。本设计中在基本谱分析 时,采用 100Hz 的采样率,满足采样定理的要求。故避免了 混叠。由公式得采样序列为：x (n) =sin (2n fl n/fs) +sin (2 n f2n/fs) +sin (2n f3/fs)。2. 序列 FF

13、T设计时虽然给出了参考教材矩阵定义DFT写出的DFT运算函 数，但考虑到运算效率，没有调用。而是使用DFT的快速算 法 FFT。快速傅里叶变换FFT并不是与DFT不相同的另一种变换，而 是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进 行一次次分解，使其成为若干小点数DFT的组合，从而减少 运算量。常用的FFT是以2为基数，其长度：n 2M。它的 运算率高，程序比较简单，使用也十分的方便，当需要进行 变换的序列长度不是 2 的整数次方的时候，为了使用以 2 为 基数的FFT,可以用末尾补0的方法，使其长度延伸到2的整 数次方。这对实验结果没有影响。又傅里叶变换后的幅值-频率图是以 N/2

14、 为对称轴的。因为如果令A(k)=IX(k)l,可以看出函数自变量是k,也就是说横坐 标为0： N-1。但为了让横坐标有物理意义，一般的将其频率 0： Fs-Fs/N 线性映射到 0： N-1 (映射关系为 f=n*(Fs-Fs/N) /( N-1)，即令 L(f)=k,A(k)=f(L(f)=IX(L(f)I,如果再令 B(f)=IX(L(f)I,艮卩f变成了新函数的自变量(横坐标为频率)。所以Fs/2对应于N/2(即当n=N/2时，f=N/2),就出现了 FFT 变换后的频谱图是关于奈奎斯特频率Fs/2对称的。因此我们 只选64点和256点对序列进行 FFT。3. MATLAB 编程( 1

15、 ) Matlab 软件简介MATLAB 是美国 Mathworks 公司推出的数学工具软件， 它是 一种直观、高效的计算机语言，同时又是一个科学计算平台。它 为数据分析和数据可视化、算法提供了最核心的数学和高级图形 工具。多达几百个数学函数和工程函数，极大地降低了对使用者 的数学基础和计算机语言知识的要求，编程效率和计算效率极 高，初学者可在很短的时间就能初步掌握它。目前， MATLAB 已 经成为国际上最流行的科学与工程计算软件工具。MATLAB集科学计算、图像处理、声音处理于一身，是一个 高度的集成系统，有良好的用户界面，并有良好的帮助功能。MATLAB不仅流行于控制界，在机械工程、生物工程、语音处理、 图像处理、信号分析、计算机技术等各行各业中都有极广泛的应 用。MATLAB 语言的特点：编程效率高；用户使用方便 ；扩充 能力强 ；语句简单，内涵丰富 ；高效方便的矩阵和数组运算 方便的绘图功能。(2)程序设计N1=128;N2=512; fs=100;f1=20;f2=20.5;f3=40;n1=0:N1-1;n2=0:N2-1; xn1=sin(2*pi*