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1、垂直于弦的直径 (第一课时) 教学设计执教老师：龙山二中 谭 莉教材分析： 本节教学内容是新人教版九年级(上)第二十四章第一节圆的第二课时。垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。学情分析： 学生在生活中经常遇到与圆相关的图形，并且学过圆、弧、弦等概念及轴对称图形相关知识，对本节课会比较有兴趣。同时九年级的学生求知欲强，容易接受新鲜事物，有较强的自我发展意识，班级已初步形成了合作交流、积极探索的学风，学生能在老师的引导下自主探索垂径定理。教学目标【知识与技能目标】：（1）使学生经历实
2、际问题抽象为数学问题的过程，理解圆的轴对称性；（2）掌握垂径定理，并学会运用它进行有关的计算证明，养成勇于探索敢于创新的习惯，以及善于用数学方法解决实际问题的能力。【过程与方法目标】：(1) 在定理形成过程中，使学生对圆的性质由具体、形象、直观的认识，到学会用数学的思维方式去观察、分析，并用数学的方式表示出来。培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力。(2)向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。【情感与态度目标】：（1）通过创设引导学生主动参与的情景，增强民族自豪感，感受数学在生活中的运用,激起学生强烈的好奇心和求知欲，并让学生体验数学美。（2）使学生在积极参与过程中获得
3、成功的体验，体验数学充满着探索与创造。教学重点：探究、发现、理解和掌握垂径定理教学难点：垂径定理的证明及应用教学方法：参与式探究教学法教（学）具准备：圆形纸片、多媒体课件教学过程：一、 设疑激趣、导入新课导入：（播放多媒体画面）赵州桥的桥拱呈圆弧形的，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦AB的距离）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 【设计意图】 创设学生熟知的问题情境，并从该实例中建立与本课题密切有关的数学问题.这样既能激发学生的兴趣,又能引发学生更深层次的思考.使学生认识到数学总是与现实生活密不可分
4、的,将实际问题数学化,引出本节内容。二、 尝试诱导、探究新知（一）探究圆的轴对称性 让学生将准备好的一张圆形纸片按下列方法操作；活动1 将手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？教师用多媒体课件演示重叠的过程。得出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴【设计意图】 学生通过动眼看、动手做、动脑想、动口说，在知识地产生过程中主动参与到教学活动，这样做有利于发挥学生的主动性，发展他们的创造性，培养其探究精神，让学生在“做中学”，为达到本课的教学目标奠定坚实的基础。（二）探究垂径定理活动2 在圆形纸片上作出圆的任意一条弦AB，再做垂直于
5、这条弦的直径CD，垂足为E。请你试试将手中的圆形纸片沿着CD折叠，看能发现什么？该图还是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能发现图中有那些相等的线段和弧？BCOAED教师用动画演示这一过程，并引导学生动手操作，探索得出垂径定理。 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合， ， 分别与 、 重合。因此 AE=BE， ，即直径CDAB ACB平分弦AB，并且平分 及 及 。.这样，我们就得到了垂径定理：1、 垂径定理（1）用文字语言表述：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。（2）垂径定理用符号语言表述： = =题设 由 CD是直
6、径 CDAB可推得AE=BE,结论 = ,【设计意图】 采用多媒体教学，使抽象的图形直观化，形象化；通过图片的折叠使复杂的问题简单化。在学生动手操作-折纸和课件演示的基础上，利用圆的轴对称性，采用叠合法证明垂径定理是学生容易接受的，归纳定理时采用了文字语言和符号语言两种形式。其目的既使学生重视证明表述，又加深了对它的发现与理解，突出重点。2、垂径定理中AE=BE的证明为等腰三角形证明：连接OA、OB（法一） 【设计意图】 学生在经历了实验观察猜想证明这一过程后，思维逐步被展开，现在可以引导学生证明并归纳定理，从特殊到一般，培养学对几何图形的化归思维能力，并教学生使用用数学中文字语言、符号语言、
7、图形语言进行解题。几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换也是学生应具备的能力。3、垂径定理的实质小组合作讨论：垂径定理中CD仅仅局限于直径吗？把直径缩短或者伸长该定理还适用吗？该定理究竟揭示的是什么规律？（1） 是否可以把直径CD改为图（1）中的线段OE呢？（2） 能否可以把直径CD改成图（2）中的线段OD呢？ （3）能否可以把直径CD改成图（3）中的线段CE呢？BEAO(1)(2)(3)(4)CBEAOBEAODCBEAOD（3） 能否可以把直径CD改成图（4）中的直线CD呢？ 学生总结出：垂径定理中直径CD可改为只要过圆心的直线（线段）即可。(该定理实质揭示的是在圆中一条过
8、圆心的直线（线段）与弦在特定的位置下产生的一些结论。)题设平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 由 过圆心 垂直于弦可推得平分弦结论【设计意图】引导学生通过小组合作学习，充分发挥学生的主体作用，挖掘书本的隐含知识，激起思维的火花，探索出垂径定理的实质，从而突破了难点，让学生真正理解定理，会灵活利用垂径定理解题，达到了本节课的教学目标。三、例题示范、化疑解难 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？解：根据垂径定理，D 是弦AB 的中点，C是弧AB 的中点，CD 就是拱高，AB=37.4，CD=7.2， C
9、D 在RtOAD中， 由勾股定理，得： OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R7.2）2 解得：R279（m）答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 【设计意图】 数学来源于实践，又应用于实践。在例题中，老师把新课引入的实际问题，在结束前引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力。首尾呼应，形成一个课堂教学的整体。教师教学时应强调在圆中解决求线段长度问题时，常需添加辅助线，过圆心作弦的垂线段，构造直角三角形，应用垂径定理及勾股定理解题是常用的方法。四、变式练习、加深理解 1、填空(如右图)（ ）（ ） （ ） 2、下列图形是否可以使用垂径定理？ （1）（2）（3）
10、（4）（5）（6） 3、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。 OEBA解： 答：O的半径为5cm.【设计意图】 设计这组题目渗透从“特殊”到“一般”解题思想方法，使学生体会到由浅到深，由表及里的学习过程 ，符合学生的认知规律，培养学对几何图形的化归思维能力。通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用。五、 课堂回顾、画龙点睛请大家围绕以下两个问题小结本节课 学习了一个与圆有关的重要定理，定理的内容是什么？ 在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么？【设计意图】 师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理
11、化，帮助学生全面理解、掌握所学知识。六、课后作业、巩固提高必做题：课本第87页第1题、第88页第8题；选做题：有一石拱桥是圆弧形，桥下水面的宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米，船舱顶部为方形，并高出水面2米的货船要经过这里，此船能顺利通过这座拱桥吗？ACMNBDEF【设计意图】 及时巩固所学知识，达到课堂内容的延伸，调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质。结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，防止优等生“吃不饱”，学困生“吃不了”，作业题分为必做题与选做题。教学反思：本节课力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学。整堂课以思维为主线，充分利用直观教具与学具及多媒体辅助教学，让学生充分参与数学学习，融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体，通过“实验观察猜想证明应用”，同时辅以相应的音乐，为学生创设轻松、愉快、高雅的学习氛围，在学习中感悟生活中的数学美，使学生在获得知识的同时提高兴趣，增强信心，提高能力。
