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1、Page12诈明F(t)具有固定方向的充要条伴是r(t) x 旷(打=0.4证实：必要性 设r(z) = A(/)(e为常单位向量),那么 rt)-入 m.所以r(z) X r*(=0 +充分性 设r(z) = A(/)O.因此(上)有固定方向(上题X又八门丄nt).所以尸平行于 固定平面Page282求三;fc挠曲疑r( r ) = ! az ,. cz3 I 5点的切线和法*2r(t)- at,btd31, r(t)= a.26t93ct2 .所以,切线方程为p-r(?0) = Aro),即龙他“ _ y _ 仇;_ n _ ctja2bg3喝法面方程为p- F (d)尸仏 = 0t即(工
2、一任5) Q + (y 6ro)-26xfl + (s -cTo) -3rtS = 0,ax + 2btQy 3ctlz - ( J“ + 2几；+ 3宀：)=0,5逞穷晡柱螺线尸=| atm乳a sin 0趴(oo ? ao 切緘与轴杵同定角.5由于rf8) = | -asin ,acos fl,fr|t取z釉上的单位向量 3 = I0.0flt那么一 tisin 5*0 +5*0 + 6*1/ (- a sin 0)2 + (acos 3) + 6r l即h与衍的夹角不随疗的变化而变化因之曲线的切线与2轴作 固定角-I drKt) =ua/(卡 4 b dx=22从t =0算起的弧长为si
3、nh a12 束進讎战O；t 11 f 2 6x 101对应于- aMfWa 段的弧长为：=J + 4b2 xa dx13 戎擬物线y bx对应于一竝的一険弧长yln( U + J1 + /oq r ).从a coshud13 T曲线C的方程为yf 它的向量参数表示为 r = x t bx2.01 ,71 + 4a262 +ln(2a* + /l+4a=0起计Jf的弧氏12 r I f, a cosh ,0 a16 求曲甘螺践試=3ac仆y = 3asin f , 4 = 4x 从它与 jcOy平面的交点列任恚点M(“的弧长.1曲线与 辺 平面相交肘* = 0,即4血=0,得二山r = I S
4、acos t f3asin t ,4af I ,T | -3俚竝口 /t3acos t t4a TI rl =9a216a2 = 5a.所以弧长Kt)=5adt = Sai24 將国柱螺线r- Ucos zsin占八化为自然參栽救录,24aces t 皿 sinin 19 bi fr - asm t f acos t ,b f rf J a1 + H ,/?=J 0a2 + d2d; = J十右 ,E代人原方程得a cos = ,asin - ,“ 一=J3+ 甘a1 + b1+ F |Page53I 求I扯嫌战 j*=a cos武* A =夂si n= 艇.在伍童.樣的密 刼平面酌芳稅.1
5、解：F a sin i ,0 HF“r X 尸=,d 程曲线 JT = COS x. cos 去,兰=CCS a* si Fl t , sm a 的剧潘找药一吐 曲职 举位天,家 井靖命如型,的筍崗倉M 裁切爷面.4 解:r = J cos a cos t t cos a sin t / sin a | ,尸 = i cos asin T t oos czoos / tsin 0).= -/2 czcosh(1)由于 r - a cosh t # a sinh t at t 尸巳血 sinh t, a cosh f 卫, r a cosh t, a sinh t f0 f r X r = |
6、dsiiih t a2 cosh| r X f | =V2a3cosh l, r*= iisinh 11 a cosh Z ,0!, F 童障咖、一 Jr ,r tr ) = a ,所以2 a cosh21 “ T2a cosh2 /(2)由于 F= |a(3z-r3)3a(3r + /I)li rf - l3o(l - i7)t6ai 3a(l + f2)!, r - 6口八6 (rr*,r*) = 36mn3 fcos31.所以,曲率匕挠率r分别为匸 rr X rv 15sin2 2 + cos t(51sin fcos 11 )J 25Tsin rcos /一 36s吋4Irx ZI2 (lSsincos2/)7 25sin fcos ra | rT 51 sin fcos rl35008 z,_5rr x r3皿rfZ3r y2fcos t - sint 4sin /cos fsin rcosT sin rcos r | _3cos , j3fiin r t-4|4 43cos t, 一 -sin 十 * 一 丐 丫sin decs /,0Lff 一
