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1、量子力学练习一1. 爱因斯坦在解释光电效应时，提出 概念；爱因斯坦光电效应方程为:电子的康普顿波长为 01 11O光量子（光子）hv = -zwv2 + A A. = 2.43x107 A2 阳2. 玻尔氢原子理论的三个基本假设是：（1） （2） （3）。定态假设 跃迁假设 角动量量子化假设3. 能量为100eV的电子，其德布罗意物质波的波长为、1.2x10%4. 在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数”（尸），一般要求波函数满足三个条件即: : 根据玻恩对波函 数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为 波,波函数模的平方,（）表示粒子在空间的几率分布，称为。而|（
2、r）|2dr 表示,要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须。 单值的、连续的、平方可积的；几率或概率几率密度或概率密度；在空间体积dr中找 到粒子的几率或概率；归一化5. 测不准关系xApNh/2表明，微观粒子的位置（坐标）和动量,这是 的反映，当力0时，量子力学将回到经典力学，或者说可以忽略。而AA/?/2说明原子处于激发态时有一定的时间限制, 则原子激发能级有一定,这是原子光谱存在 的根源。不能同时具有完全确定的值粒子的波动一粒子两重性量子效应宽度自然宽 度6. 在量子力学中，力学量通常用算符表示，在坐标表象中，动量变为动量算符即方=,在动量表象中，坐标变为坐标算符，即户=-UNi杓 p7.
3、 设波函数”（x） = Ae*，。为常数，求归一化常数Ax）火=Xea xAea xdx = |A|2 厂 e2a xdx = |A|2】其中利用匚厂认=&,由此可得A=（?a28. 己知做直线运动的粒子处于状态材（x） =（1）将（X）归一化；（2）求出粒子坐标取值几率为最大处的位置和最大几率密度。,、 C解：（1）令3（x） = ，则由归一化条件可得1-ixfX 时（x）k = fx = |C|n为整数/2勿 y/2 r,0,（p） = -exp（ikr）, k 为常数 仁（r,8,G）= ：exp（-永r） , k 为常数时的几率密度和几率流密度，并根据结果说明粒子的运动情况。解：几率守
4、恒的积分形式：*pdt = jds微分形式：半+._/ = 0几率密度：p =几率流密度：j = 一尹（*材一四K） =一= 2|C|2 fX = 1JyH fii + ixl-ix1 1 J-l+x2 1 1 J。l + x2归一化的波函数为”（x）=-J;r（l 一株）（2）坐标几率密度取极值的条件Lw（x）=,dx dx（;r（l + x）2x而J：占火2雨邱广、=0勿（1 +亍）即x=o时坐标几率密度取极大值，其值为带（0）=上719. 设粒子归一化波函数为”（x,），,z），求在（y,y+dy）范闱内找到粒子的几率。解：波函数已归一化，故在（y,y+dy）范围内找到粒子的几率，应将x
5、,z分量积分掉即P =川材（X,北 Z）dxdzdy(1)(2)(3)10. 写出几率守恒的枳分和微分形式以及几率密度、几率流密度的表达式；并计算： 在球坐标系中粒子质量为m的波函数分布为(1) 几率密度：q = I”(,，)= w w exp(_v)exp(访歹)=112/r2/r几率流密度:6 e在球坐标系中v = e +e0+-dr rdO 6 rsnO d(p见” = &exp(-萨+昴声标司后顽冲）=ri=exp (小仞)ey/lTr7 rsui dtp次（泌）=话逐in故徉*uh由上可知几率密度为常数，而几率流密度沿但方向，与r,。有关，因此此粒子绕z轴作圆周运动，但几率流密度是量
6、子化的（2）几率密度：/?=.（如）=材初=4-exp (一 ikr) exp (ikr) = %,满足测不准关系2小。 I a ) U 8W)COV(x) =2. 粒子被限制在如下势场中运动，试写出粒子所满足的Scluodinger方程（粒子能量E V* ）,并确定其边界条件。（不需要具体计算，所写方程要最简（参数引人）x -a -a x -b -bxb b xa解：依题意xa %(x) = 0由定态Scluodmger方程口J得-ci x -b X 3) +。讥(x) = 0dr -2mE a-bxb 土。3侦)一/3如人x) = 8 歹=2?(；： )入f I1bx0）从左入射，碰到下列
7、势阱，求阱壁处的反射系数。解：定态Scluodmger方程为d2%(x) + a初(x) = 023。)Cc frxo在x0区域，只存在透射波，故波函数取为W=（x） = Cd反射系数R=L =兰Z人在x = 0处，化（0）=气（0）也dx.1=0故写出粒子所满 足的 Scluodmger 方程（粒子能量 E0）从 左入射，碰 到下列势 阱，求阱壁 处的反射系 数。iaA -iaB = ikC 由此可得：=-A a + k反射系数&=(q_幻崂(Q+幻 (TvTe+VF)44. 荷电q的一维谐振子，受到与谐振子坐标方向一致的均匀外电场作用，求其能量本征 值和本征函数。解：荷电q的谐振子在电场矿
8、作用下的势能为-0以，故系统的Hamilton量为H = + - mccrx1 - qex 2m 2变为Hamilton算符为/V )p-2m+仁腿手邓=-苴 2） 2m dx-定态Scluodmger方程为荷电q的一维谐振 子，受到与谐振子坐 标方向一致的均匀 外电场作用，求其 能量本征值和本征 函数。护 d)27 dx2+ -marx2-qsx y/n (x) = En (x)整理得扩 d） , 1+mar x - 2m dx- 2 I乙(x)=令Xo=%,上式变为mar+!g “（X）扩 d 讥 3) 12 /2 , (工一工。)侦)=E, 2m dx 2x=x-x0, En =+ in
9、cerxl,贝ij 有2m dx1（y）= E3）和一维线性谐振子方程相同，利用结论可得: 本征值为Efn = En + -narx = n + hco= Efi = /? + hcornccrx = 0,l,2,22 /2 72本征函数为以0 = & 2 乩=%() =2 久(asax。)。=5. 谐振子处于基态，计算坐标和动量的不确定度（涨落）耸和，并验证测不准关系。J a，解：谐振子基态波函数为 3） = %7厂示-2a =由此可得X =匚 W： (x) W“(x)dx = 土 匚 xeaxZdx = 0孑=匚w；3)女=圭J：方-k火=-LAx = JF-尸=- y/2aP =匚化:M
10、 J)* =壬匚疽如(顷= o歹=匚 “:(X)D)，=靠匚 /E p&kx =号 /Ap = Jp：_p2 =货*ta a 1 旭 h故A*庖乾我量子力学练习三1. 根据态叠加原理的要求，表示力学量的算符必须是；又因为力学量是 可观测量，应为实数，表示力学量的算符必须是 O线性算符厄米算符2. 线性厄米算符的性质是：（1）线性厄米算符的本征值必为:（2）线性厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此:（3）线性厄米算符的本征函数组一般构成 集。实数 正交 完备3. 两个力学量算符有共同完备本征函数组的充要条件是；力学量完全集中，力学量的数目应与 相等。两个力学量彼此对易 体系自由度4. 在态中，后的可能测值为; 的可能测值为。6/r2金力，0, 一方，-2h5. 证明下列对易关系式4,4， = ihL:房,” =顷成t证明：Lx = yp.-手、.Ly = zpx -xp.L. = xpy - ypxL，LyJ = 叩：一 zp v ,x-xp: = yp:, zpx
