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1、第一讲分数的速算与巧算循环小数与分数互化【例1】 真分数a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a7是多少？AanOOAnCnn【解析】丄=0.142857，=0.285714，=0.428571，=0.571428，=0.714285，777776 =0.857142 因此，真分数-化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是7 71+4+2+8+5+7=27,又因为 1992*27=73,21,27-21=6，而 6=2+4,所以-=0 857142，即 a=6 7【巩固】真分数a化成循环小数之后，从小数点后第 1位起若干位数字之和是 9039
2、，则a是多少？7【解析】我们知道形如a的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，7只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的1 4 2 8 5 7和一个不完整 14 2 8 5 7 组成。9039-：- 12 4 5 7 8 =33421，而 21 =27 _ 6，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6,经检验只有最后两位为 4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142 ”，因此这个分数应该为 6，所以a = 6。7【巩固】真分数a化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a是多少？7【解析】我们知道形如a的真分数
3、转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，72 009 6 334，因此只需判断当 a为几时满足循环节第5位数是7,经逐一检验得a =3。【例2】2002和 丄化成循环小数后第100位上的数字之和是 .2009287【解析】如果将2002和1转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算2009287我们2002 1发现1，而1 =0.9，则第100位上的数字和为9.2009287【巩固】纯循环小数0.abc写成最简分数时，分子和分母的和是58 ,则三位数 赢 =【解析】如果直接把0.abc转化为分数，应该是abc ,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数，我999
4、们将999分解质因数得：999 33 37,这个最简分数的分母应小于 58,而且大于29,否则该 分数就变成了假分数了 ，符合这个要求的999的约数就只有37 了,因此，分母应当为37,分子就是 58 -37 =21,也就是说 0.abc 二也二 航 =-21 ,因此 赢=21 27 =567.999372737【例3】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立.1 .丄_丄.丄_丄.丄_丄.丄_丄.丄2020 一 i I： i i i I： i丄101 1【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母 N的约数中任意找出两个数 m和n，有:1_mn_ mn _1.1N N(m ：n) N (m
5、n) N(m n) AB从分母n的约数中任意找出两个 m和n ( m . n),有:1m nmn11N _N(m - n) N (m -n)N (m - n) A B(1)本题10的约数有：1，10，2, 511 2 121 1例如：选1和2，有：= += +10 10x(1+2)10x(1+2) 10x(1+2)30 15从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的 m和n,它们的数值虽然不同，但是如果m 和n的比值相同，那么最后得到的 A和B也是相同的.本题中，从10的约数中任取两个数，共有C：4=：10种，但是其中比值不同的只有5组：(1，1) ； (1，2) ； (1，5) ； (1
6、，10) ； (2，5)，所以本题共可拆分成 5组具体的解如下：1 111 11 1 11 1 1+=+10 202011 110126014351530(2)10的约数有1、2、5、10,我们可选2和5 :15 -2521110 -10 (5 -2)10 (5-2)一10 (5-2)615另外的解让学生去尝试练习.【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立.1 _ 1 1 111110 ()()()()()()【解析】先选10的三个约数，比如5、2和1,表示成连减式5 -2 一1和连加式5 2 1 则：101 1 11111111 1 1 1如果选10、5、2,那么有： 丄=丄_丄_丄 丄 丄丄103615173485另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其 中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了.1比如，要得到10 1 1 1，根据前面的拆分随意选取一组，比如；)()()1=11再选择其中的一个分数进行拆分，比如111,所以10126012131561_J 一1 -1101360156
