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1、第七章 无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。（2） 掌握几何级数与p级数的收敛性。（3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。（4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。（5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。（6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。（7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。（8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。（9） 了解函
2、数展开为泰勒级数的充分必要条件。（10） 掌握函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。（11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在上的函数展开成傅氏级数，会将定义在上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开7.1常数项级数的概念及性质一、内容要点1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数
3、收敛于和s，则级数也收敛，且其和为ks(证明) 性质2：若级数、分别收敛于和s、s，则级数也收敛，且其和为ss(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性(证明) 性质4：若级数收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变(证明)；性质5(级数收敛的必要条件)：若级数收敛，则它的一般项un趋于零，即(证明)；一、 概念定义:设已给定数列, ,称形式加法+为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为, 即 =+, 其中称为一般项.将其前项的和: =+称为级数的前项的部分和,或简称部分和.注1: 由上我们便得到一个数列, ,从形式上不难知道 =,以前我们
4、学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义: 当时,若部分和数列有极限,即 =,就称常数项级数收敛,且称为其和,并记为: =+ , 若数列没有极限,就称发散.注1: 当级数收敛时,其部分和又可看成为的近似值. 两者之差 =+ 称为级数的余项.用代替所产生的误差就是它的绝对值,即 .注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设为一数列,令=,=,=, , 则 这样就由一
5、数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.例1 讨论一个简单级数几何级数(等比级数):的敛散性.其中解: 我们先考虑其部分和: = 利用中学知识,得 = (时)(I) 当时,由于 =, 故几何级数收敛,且收敛于.(II) 当时,由于=不存在,故此时几何级数发散.(III) 当时,此时几何级数为: ,=()此时级数发散.(IV) 当时,级数为,=, 不存在.故此时级数发散. 综上所述,几何级数在时收敛,在时发散.例2 证明级数收敛.证: 首先,由于 = =+ = = = 原级数收敛,且收敛于.例3 证明调和级数发散.证: = =+ + =当时,.显然不存在. 故原级数发散.一、 性质性质1:
6、 (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即 收敛,则.证: 设收敛于. 即=. 注1: 若反之,则不一定成立.即, 原级数不一定收敛. 如调和级数发散,但.注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若,则原级数一定不收敛.性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.证: +的部分和序列为 +的部分和序列为.则 , 由于为有限数,则为一个有限数.则 与同敛散. 若原级数收敛,则=. 则收敛. 即+收敛 若原级数发散,则不存在, 故也不存在. 则发散. 即+发散.性质3: 若级数收敛于,则它的各项都乘以一常数所得的级数收敛于.即=性质4: 若级
7、数和分别收敛于和,则级数收敛于.注1: 称为级数与的和与差.注2: 若级数和之中有一个收敛,另一个发散,则发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: 是发散的, 但 是收敛的.注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽
8、相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.例4 判别级数的敛散性.解: 因级数与级数均收敛,由性质4可知=+ 收敛.7.2常数项级数的审敛法一、内容要点 正项级数及其审敛法： 1正项级数的概念； 2基本定理：正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界(证明) 3比较审敛法：设和都是正项级数，且un vn (n = 1, 2, )若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数发散(证明)推论：设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数N，使当n N时有un kvn (k 0)成立，则级数收敛；如果级数发散，且当n N时有un kvn (k 0)成立，则级数发散 4比较审敛法的极
9、限形式：设和都是正项级数，(1) 如果，且级数收敛，则级数收敛； (2) 如果或，且级数发散，则级数发散(证明) 5比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设为正项级数，如果，则当r 1(或)时级数发散；r = 1时级数可能收敛也可能发散(证明)； 6根值审敛法(柯西判别法)：设为正项级数，如果，则当r 1(或)时级数发散；r = 1时级数可能收敛也可能发散(证明)； 7极限审敛法：设为正项级数，(1) 如果(或)，则级数发散； (2) 如果p1，而，则级数收敛(证明) 交错级数及其审敛法:1交错级数的概念：2莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件：(1) un un + 1 (n = 1, 2, 3, )
10、； (2) 则级数收敛，且其和s u1，其余项rn的绝对值| rn | un + 1 (证明) 绝对收敛与条件收敛： 1. 绝对收敛与条件收敛的概念； 2. 定理：如果级数绝对收敛，则级数必定收敛(证明) 一、 教学要求和注意点（略）前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.设为一正项级数, 为其部分和.显然部分和序列是一个单调上升数列.由此不
11、难得下面的定理.定理: 正项级数收敛有界.证: “” 收敛收敛有界. “” 有界,又是一个单调上升数列存在收敛.定理1(比较审敛法) 设与是两个正项级数,且 .那么1) 如果收敛,则收敛.2) 如果发散,则发散. 证: 设和分别表示和的部分和,显然由(1) 收敛有界有界也收敛.(2) 发散无界无界也发散.推论: 设两个正项级数与,如果对于(为某一自然数)的,恒成立不等式(的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论.例1: 讨论-级数 的敛散性.其中常数.解 (1) 当时,因,而发散, =发散 (2) 当时,对于任意实数,总存在自然数,使得 ,因此, ,于是 = =.这表明有
12、上界,又单调上升,故存在-级数 收敛. 综上所述,当时, -级数发散;当时-级数收敛.例2 若正项级数收敛,则 (1) 收敛, (2)收敛, (3)收敛.证: (1)由, 由于正项级数收敛,则由比较审敛法, 知收敛 (2), 由于正项级数收敛,收敛,则收敛, (3)由于收敛,则,则,当时,从而,则由比较审敛法,则收敛.比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数与,如果存在极限:(1) 当,则级数与同时收敛或同时发散.(2) 当时,如果收敛,则级数必收敛.(3) 当,如果发散,则必发散.证: 1)因,根据极限的定义,对于,必存在正整数,当时,恒成立不等式,即 由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或
13、同时发散.2) ,即,则存在,当时,得 ,由比较审敛法知,如果级数收敛,则级数必收敛.3) ,即,则存在,当时, ,得 ,比较审敛法知,当发散,则必发散.例3 证明收敛.证: 由,又 收敛,则由比较审敛法的极限形式 收敛定理2: (达朗贝尔DAlembert判别法) 设正项级数,如果极限,则1) 当时,级数收敛;2) 当或时,级数发散.3) 当时,法则失效. (证明略)注1: 习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法.例4 证明收敛.证: , 由达朗贝尔判别法知, 原级数收敛.例5 讨论 ()的敛散性.解: 当时, 由比值审敛法知,原级数收敛. 当时, 由比值审敛法知,原级数发散. 当时,判
14、别法失效.但此时原级数= 发散. 时,原级数收敛.;时,原级数发散.定理3: (Cauchy判别法) 设为正项级数,如果,则1) 当时,级数收敛;2) 当(或为)时,级数发散.3) 当时,法则失效. (证明略)注1:习惯上,我们称 Cauchy判别法为根值审敛法.例6 证明收敛.证: ,故由根值审敛法知,原级数收敛. 任意项级数的敛散性一、 交错级数及其审敛法交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:或,其中 定理1: (莱布尼兹判别法) 若交错级数满足:1) , 2) 则级数收敛,其和,余项的绝对值.证: 先考察交错级数前项的和,并写成,或 根据条件(1)可知:是单调增加的,且,即有界,故
