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1、高中数学典型例题、错题详解【例1】 设M=、2、3,N=e、g、,从M至N的四种相应方式,其中是从M到N的映射是( ) 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一种拟定的相应关系，是对于集合A中的每一种元素x,在集合B中均有一种拟定的元素y与之相应,那么就称相应f：A为从集合A到集合B的一种映射。函数的概念：一般的设A、是两个非空数集，如果按照某种相应法则f,对于集合A中的每一种元素x,在集合B中均有唯一的元素和它相应,这样的相应叫集合A到集合B的一种函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊相应）映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊相应;而映射是建立在两个任意集合上
2、的特殊相应;函数是特殊的映射,是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的相应。映射与函数(特殊相应）的共同特点：可以是“一对一”;可以是“多对一”;不能“一对多”;A中不能有剩余元素;中可以有剩余元素。映射的特点:(1)多元性:映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集或由图形构成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到的映射往往不是同一种映射；(3)映射中集合A的每一种元素在集合B中均有它的象，不规定B中的每一种元素均有原象；（4)唯一性:映射中集合A中的任一元素在集合中的象都是唯一的;(5）一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选
3、 C 【分析】根据映射的特点不能“一对多”，因此、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数(特殊相应)的所有5个特点。本题是考察映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基本上,灵活掌握变型题。【例2】 已知集合A=R，=(、y)x、y，是从A到B的映射fx：（x1、2），（1)求在B中的相应元素；（2）（、）在A中的相应元素【分析】（1）将x代入相应关系,可得其在B中的相应元素为( +1、1);（2）由题意得：x+1=2,x21 得出=1， 即(2、1)在A中的相应元素为1【例3】 设集合A=a、b，B=、e,求：(1）可建立从A到B的映射个数（ ）；（2)可建立从到A的映射个数（ )【分析】 如果
4、集合A中有m个元素,集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有 n 个;集合B到集合A的映射共有 n 个,因此答案为23=9；2=8【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x0时,f(）x-1,则当x0时,有( )A、f(x) 0 、（x） 0 C、f(x)f(-x) 、（x)-f() 0奇函数性质:1、图象有关原点对称;、满足（-x） - f(）;3、有关原点对称的区间上单调性一致;4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；5、定义域有关原点对称(奇偶函数共有的）偶函数性质：1、 图象有关y轴对称；2、满足f(-x) = f（)；3、有关原点对称的区间上单调性相反；4、如果一种函数
5、既是奇函数有是偶函数,那么有(x）0；5、定义域有关原点对称（奇偶函数共有的）基本性质:唯一一种同步为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有,(x)=0)。一般,一种偶函数和一种奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数;如x+ x2。两个偶函数的相加为偶函数,且一种偶函数的任意常数倍亦为偶函数。两个奇函数的相加为奇函数,且一种奇函数的任意常数倍亦为奇函数。两个偶函数的乘积为一种偶函数。两个奇函数的乘积为一种偶函数。一种偶函数和一种奇函数的乘积为一种奇函数。两个偶函数的商为一种偶函数。两个奇函数的商为一种偶函数。一种偶函数和一种奇函数的商为一种奇函数。一种偶函数的导数为一种奇函数。一种
6、奇函数的导数为一种偶函数。两个奇函数的复合为一种奇函数,而两个偶函数的复合为一种偶函数。一种偶函数和一种奇函数的复合为一种偶函数【分析】 f(）为奇函数，则f(-) =f()，当0时,() -f（-x) =-(x) 1= -x+10,因此A对的,B错误；f（x）f（-x）=(x-1)(-x+1)0，故C错误;f(x）-f（-)= (x1）（-x+1）,故错误【例】已知函数f(x）是偶函数，且x0时,(),求:(1)f(5)的值；（2)f（x）=时x的值；(3）当0时，f（x)的解析式【考点】 函数奇偶性的性质 【专项】计算题,函数的性质及应用【分析及解答】 （）根据题意，由偶函数的性质f(x)
7、 f（x)，可得f(5) f(-5)=（2)当0时，（）0 可求x，然后结合（)= f(-x),即可求解满足条件的x,即当x0时,=0 可得x=1;又f（)= f（-1),因此当（x）=0时,x=（3)当x时，根据偶函数性质f(x)= f(-x）=【例】 若f（x)=e+ae-x为偶函数,则f(-1）的解集为（ )A（2，) B.(0,2) C（,2） D.（，0）（2,+)【考点】函数奇偶性的性质 【专项】转化思想;综合法;函数的性质及应用【分析及解答】 根据函数奇偶性的性质先求出a值，结合函数单调性的性质求解即可f(x)=e+ae-x为偶函数,f(x)=e-x+aex= (x)= ex+a
8、-x,a=,(x)=exex在(,+）上单调递增,在(-,0）上单调递减,则由f（x-1)=+, -1 x-11， 求得 0 x 2 故B对的【点评】本题重要考察不等式的求解,根据函数奇偶性的性质先求出a值是解题核心【例7】 函数f()=是定义在（-1,1)上的奇函数，且（),(1)拟定函数(x)的解析式；(2）证明f(x)在（1,1）上为增函数;（3)解不等式f(-1)+ f(x）0【考点】 函数奇偶性与单调性的综合 【专项】函数的性质及应用【分析及解答】 （1） 由于f（x)为(1,1)上的奇函数,因此(0)=,可得b0,由f()=，因此=,得出=1，因此f() （2） 根据函数单调性的定
9、义即可证明任取-1 x1x1，f(1)(x2）=由于-1 ,因此f（x1）f(2) 0，得出(x1) f(x2），即f(）在(-1,1)上为增函数（3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”,再考虑到定义域可得一不等式组,解出即可:f(2x1)+f(x)= 0,f(2x1）f（),由于f(x）为奇函数，因此f(-1) (x),由于f(x)在（1,)上为增函数，因此x, 由于-12x11,-1 x，联立得 0 ,因此解不等式f(2x-1)+ f(x） 0的解集为(0，)【点评】 本题考察函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇偶性的常用措施,而抽象不等式常运
10、用性质转化为具体不等式解决。【例8】 定义在R上的奇函数f（x)在（,+）上是增函数, 又f(-）0，则不等式xf(x) 的解集为( ）【考点】 函数单调性的性质 【专项】综合题；函数的性质及应用【分析及解答】 易判断f(x)在（-,0）上的单调性及f（x）图像所过特殊点,作出f（x)草图，根据图像可解不等式。解: f（x)在上是奇函数,且f(x)在(0，+）上是增函数, f(x)在(，）上也是增函数，由f(-3），可得-f(3)=，即(3)=0，由f（-0)f（),得(0)=0 作出f（x)的草图，如图所示:由图像得：x f(）或3或-3x0， xf() 0的解集为：(-,0）（0,）,故答
11、案为：（-3，0）(0,3）【点评】 本题考察函数奇偶性、单调性的综合应用,考察数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题核心。【例】 已知f（x+1）的定义域为-2,3，则f（2+1)的定义域为( )抽象函数定义域求法总结:（1）函数=fg(）的定义域是(，b）,求f(x）的定义域：运用axb,求得g(x）的范畴就是f(x）的定义域；（2）函数y=f(x）的定义域是(a,b），求y=fg（x)的定义域：运用g()b,求得x的范畴就是y=fg(x)的定义域。【考点】 函数定义域极其求法 【分析及解答】 由f(x+1)的定义域为-2，3，求出 f（x)的定义域，再由2x+1在函数f（x)的定义域内求
12、解的取值集合，得到函数f（2x+1)的定义域。解：由f（x1）的定义域是-,3，得-1x+14 ;再由114 0 (2x+1)的定义域是0,，故选A【点评】 本题考察了复合函数定义域的求法,给出函数fg(x)的定义域是(a，）,求函数f（)的定义域,就是求x（a，)内的g（x）的值域；给出函数f(）的定义域是（，b）,只需由() b,求解x的取值集合即可。【例10】 已知函数f(x)=x7+axbx-,且f(-3)= 5，则f(3)=( ). -5 B. 15 C.10D.0【考点】 函数的值;奇函数【分析及解答】 令g（x) x7+x5b,则g（-3)=解法1：f(3）= (-3)+ a(-
13、3)+(-3)-5=-(3+a5+3b-5)-0= f(3）-10=5,f（)=-15解法:设g（)= x7ax5+b，则(x）为奇函数,f(-)= g()-=-g(3)-5g()=-10，f(3）g（3)-=-15【例1】已知二次函数（）=x2+a（a)，若f（m）0,则f（m+1）的值为（ )A.正数 B.负数 .零 .符号与有关解法1:由于f(m）0因此m2+a0.因此m2+m0，因此-1m0f（+1)=m2+3m+=(m+)2-+a.由于-m, 因此(m+1）0 答案为A解法2: f（x)xx+=x(x+1)+a f(m)(m)a0 （m),且mm+1m0，m+0 (m1) 即:f（+1）=（+1)+(m1）+a0 f(m+）0 选【例12】 函数f(x)= x2-2x有两个零点,的取值范畴（ ）解：令f(x)= x-2m=0,则22x=m，作y=x2-2x和y= 的图像要使(x)= x-2xm有两个零点,则图像y-2x和y= m有两个交点【例13】已知函数f(x)和
