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1、 第4讲 倍数问题一. 常见的倍数问题1. 和倍问题:已知两数的和以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数。2. 差倍问题:已知两数的差以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数。二怎么解决倍数问题1和倍问题的解决要点 和（倍数+1）=小数 小数倍数=大数2差倍问题的解决要点 差（倍数1）=小数 小数倍数=大数注意：此处的小数是指较小的数。三例题与解答例1：甲乙两人做机器零件，甲和乙共做800个零件，且甲做的零件个数是乙的3倍。问：甲、乙两人各做多少个零件？分析：甲做的零件个数是乙做的3倍，所以两人所做零件个数的和是乙做的零件个数的（3+1）倍，即4倍。从而乙做的零件个数是8004个。解：乙做的零件
2、个数是800（3+1）=8004=200甲做的零件个数是2003=600答：甲做了600个零件，乙做了200个零件。例2：甲乙两人做机器零件，甲比乙多做400个零件，且甲做的零件个数是乙的3倍。问：甲、乙两人各做多少个零件？分析：甲做的零件个数是乙做的3倍，所以两人所做零件个数的差是乙做的零件个数的（3-1）倍，即2倍。从而乙做的零件个数是4002个。解：乙做的零件个数是400（3-1）=4002=200甲做的零件个数是2003=600答：甲做了600个零件，乙做了200个零件。练习1：哥哥、弟弟共种了52棵树，哥哥种的树是弟弟的3倍。问：兄弟两人各种多少棵树？练习2：哥哥比弟弟多种了26棵树
3、，哥哥种的树是弟弟的3倍。问：兄弟两人各种多少棵树？例3：甲比乙多存140元。如果乙取出60元，甲存入60元，那么甲的存款为乙的3倍。问：甲、乙两人原有存款各是多少元？分析：甲原来比乙多140元，如果乙取出60元，甲存入60元后，那么甲比乙多140+60+60=260元。这时，甲的存款为乙存款的3倍，问题转化为差倍问题。解：乙原有存款数为 （140+60+60）（3-1）+60=190（元）甲原有的存款为190+140=330（元）答：甲原有存款330元，乙原有存款190元。练习3：某班级的同学参加活动小组，已知参加语文小组的同学比参加数学小组的多26人，且语文小组的人数比数学小组人数的3倍少
4、14人。问：参加两类兴趣小组的同学各有多少人？例4：甲、乙两人分别带150元、70元去买东西。两人买了同样的东西之后，剩下的钱数甲是乙的5倍。问：甲、乙两人身上各剩多少钱？解：乙身上还剩（150-70）（5-1）=20（元）甲身上还剩 205=100（元）答：甲身上还剩100元，乙身上还剩20元。练习4：小明的爸爸办了一个养鸡场。今年比去年多养了4000只小鸡，且今年的小鸡数比去年的三倍少2000只。问：今年、去年各养了多少只小鸡？例5：小华在读一本童话选。第一天比第二天多读了30页。第三天比第一天多读了45页。第三天是第一天的2倍。问:三天各读了多少页？解：第一天读的页数为 （30+45）（
5、2-1）=75 第二天读的页数为 75+30=105 第三天读的页数为 105+45=150答：小华第一天读了75页，第二天读了105页，第三天读了150页。练习5：有两袋米，甲袋比乙袋少18千克。如果再从甲袋倒入乙袋6千克，那么甲袋的米是乙袋的一半，两袋原来各有米多少千克？ 家庭作业1 有两缸金鱼。如果从第一缸取出15条放入第二缸，那么第二缸的金鱼正好是第一缸的2倍。已知第二缸原有金鱼35条。第一缸原有金鱼多少条？2 有甲、乙两桶汽油甲桶比乙桶重16千克。从甲桶中倒一半给乙桶，这时乙桶重80千克。原来甲桶和乙桶各有多少千克汽油？3. 大桶装水是小桶的3倍。如果从大桶倒出85千克，从小桶倒出5
6、千克，那么剩下的水是一样多的。问：两个桶原有多少千克水?4. 甲比乙多做了5个零件。如果甲给了乙100个零件之后，甲的零件个数就是乙的一半，问: 甲、乙两人原来各做了多少零件？5. 三个队植树，第一对比第二队多植了20棵。第二队比第三队少植了5棵。第一队植树是第三队的2倍。问：三队各植了多少棵树？6. 两根同样长的铁丝，第一根用去65厘米，第二根用去9厘米。剩下的铁丝，第二根的长是第一根长的3倍。问：每根铁丝原来有多长？7. 甲、乙、丙三人年龄之和是94岁，且甲的2倍比丙多5岁，乙的二倍比丙多19岁。问：甲、乙、丙三人各多大？ 平均数的应用家庭作业1.某次考试，21位女生平均分数是82分，19
7、位男生平均分数是87分。问全体同学平均分是多少？25位同学按身高由高到低从左到右排成一行，左起三位同学的平均身高是150厘米，右起三位同学的平均身高是147厘米，5位同学的平均身高是148.5厘米。小明站在中间，小明身高多少厘米？3.五年级1班52人，2班48人，某次算术考试中，两班全体同学平均分为78分。2班的平均分比一班的平均分高5分问两班的平均分各是多少？4.去年前5个月，张敏家每月平均储蓄420元。从6月份起每月储蓄600元，那么从哪月起，他家每月平均储蓄不少于500元？5.A、B、C、D4个数，每次去掉一个数，求其余3个数的平均数，这样算了4次，得到以下4个数:45、60、65、70
8、。问原来4个数的平均数是多少？第5讲 年龄问题年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确分析解答这类问题，首先要明白：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差”、“差倍”等知识来分析解答有关年龄问题。年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的； 两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； 两个人的年龄的倍数是发生变化的；例题与方法例1 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸、妈妈各多少岁？分析 爸爸和妈妈的年龄差始终不变，现在爸爸比妈妈仍大6岁。问题转化为
9、和差问题。解：今年妈妈的年龄为 （82-6）2=38（岁） 今年爸爸的年龄为 38+6=44(岁)答：今年爸爸和妈妈的年龄各为44岁、38岁。练习1 强强今年11岁，军军今年7岁。当两人的年龄的是38岁时，两人各是多少岁？例2 小红今年7岁，妈妈今年35岁。小红几岁时，妈妈的年龄正好是小红的3倍？ 分析 今年妈妈与小红年龄的差是（35-7）=28（岁），这个年龄差是不变的。在妈妈年龄正好是小红的3倍时，年龄差仍为28岁。问题转化为差倍问题，利用差倍公式解决问题。 解：小红的年龄为（35-7）（3-1）=14 答：小红年龄为14岁时，妈妈的年龄正好是小红的3倍。练习2 明明今年3岁，妈妈今年27
10、岁。明明几岁时，妈妈的年龄正好是明明的5倍？例3 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是76岁。问：母亲今年多少岁？分析 六年前母子年龄和为（78-6-6）=66（岁），6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。转化为和倍问题。解：六年前儿子的年龄为 （78-6-6）（5+1）=11（岁）六年前母亲的年龄为 115=55（岁）今年母亲的年龄为 55+6=61（岁） 答：母亲今年61岁。练习3 父子两人今年的年龄和是40岁。儿子年龄的5倍比父亲的年龄大2岁。父子两人3年后各是多少岁？例4 甲的年龄比乙的年龄的4倍少3，甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。问：甲、乙现在各为多少岁？分析 “甲3年后
11、的年龄等于乙9年后的年龄。”表明甲比乙大6岁。甲如果再增加三岁，那么就是乙的年龄的4倍，问题转化为差倍问题。解：现在乙的年龄为 （6+3）（4-1）=3（岁） 现在甲的年龄为 3+6=9（岁）答：甲、乙现在各为9岁、3岁。练习4 甲的年龄比乙的年龄的3倍少4，甲5年前的年龄比乙3年后的年龄大2岁。问：甲、乙现在各为多少岁？例5 小象对大象说：“妈妈，我到你现在这么大时，你就31岁了。”大象说“我像你这么大时，你只有1岁。”问：大、小象现在各为多少岁？分析 由小象的话可知 （大象的年龄）+（大、小象的年龄差）=31 有大象的话可知（小象的年龄）-（大、小象的年龄差）=1因此，1岁时的小象曾加一个
12、大、小象的年龄差，就成为现在小象的年龄，增加两个大、小象的年龄差就成为现在大象的年龄，增加三个大、小象的年龄差就成为31岁。解：大、小象的年龄差是 （31-1）3=10小象现在的年龄是 1+10=11（岁）大象现在的年龄是 11+10=21（岁）答：大、小象现在各为21、11岁。练习5 小熊对老熊说：“妈妈，我到你现在这么大时，你就36岁了。”大象说“我像你这么大时，你只有3岁。”问：现在老熊、小熊各为多少岁？例6 一位老翁有三个孙子，年龄分别是22、20、15岁。25年后，这三个孙子的年龄的和比老翁那时的年龄的2倍少60岁。问：老翁现在多少岁？解：25年后，三个孙子的年龄的和是 22+20+
13、15+253=132（岁）老翁那时的年龄是 （132+60）2=96（岁）所以老翁现在的年龄是 96-25=71（岁） 答：老翁现在71岁。练习6 一位老翁有三个孙子，年龄分别是15、12、10岁。10年后，这三个孙子的年龄的和比老翁那时的年龄的2倍少30岁。问：老翁现在多少岁？家庭作业1小强今年13岁，小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时。两人各是多少岁？2 爷爷今年72岁，孙子今年12岁。几年后爷爷的年龄是孙子的5倍？几年前爷爷的年龄是孙子是的13倍？3 小勇5年前的年龄等于小辉7年后的年龄，小勇4年后的年龄与小辉3年前的年龄和是35岁。小勇、小辉今年各多少岁？4 一家三口，母亲比父亲小两岁，父亲比儿子大27岁，5年后全家的年龄的是82岁。现在每个人的年龄分别是多少岁？5 当师傅的年龄与徒弟今年的年龄相等时，徒弟的年龄为10岁。当徒弟的年龄与师傅今年的年龄相等时，师傅已经37岁。今年师傅两人各多少岁？第6讲 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调
