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1、概率在生活中的应用摘要：概率论与数理统计是数学的一门基础课，是研究随机现象统计规律的一门数学分支学科。随着时代的进步以及科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，可以说生活中到处充满了数学的影子。而概率作为数学的一个及其重要部分，跟人们的日常生活、生产实践活动紧密相连，在各领域的应用也相当广泛，例如：自然科学、社会科学、天气预报、工商管理、生物学、计算机与通信等领域。与此同时，概率知识逐渐应用到各个学科中，例如在遗传学、信息学、生物学等诸多学科中得到广泛应用。在人们生活中，概率的应用也广泛存在，如在赌博、福利彩票、工业产品抽样调查、地震预告、经济预算也涉及到数学科中的概率知识。由此可见，概率的应
2、用非常广泛。关键字：概率 社会生活 随机现象一、概率论的发展简介（一）概率论的起源概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。它起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。17世纪中叶，欧洲地区的贵族们盛行掷骰子游戏。法国的德梅尔（De Mere）在掷骰子的游戏时遇到一个问题。如他发现掷一枚骰子4次至少出现一次6点是有利。而掷一双骰子24次至少出现一次2个6是不利的。他带着这个疑问向当时的法国数学家帕斯卡（Pascal）请
3、教，帕斯卡接受他的问题，并与费马（Fermat）一起研究，讨论。帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。（二）现代概率论在实践中曲折发展在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及其基本性质。后来由于诸多社会问题、工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、产品检验和质量控制等，这些问题促进了概率论的发展。但是，随着概率论各个领域获得众多成果，及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，拉普拉斯给
4、出的概率定义的局限性很快暴露出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因为19世纪的分析没有严格化,所以以其为研究工具的概率论的严格化便成了空中楼阁。虽然后来分析的基础严格化了,但是测度论尚未发明。因此,20世纪前的概率论缺乏数学的严密性，庞加莱(J.H.Poincare,1854-1912)也不能把概率论演绎成逻辑上严密完美的学科。“贝特朗悖论”以及概率论在物理、生物等领域的应用需要对概率论的概念、原理做出解释。这些问题促使人们思考概率论的基础问题及概率论所依赖的数学技术问题。1900年,希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)在巴黎国际数学家大会上所作报告中指出把概率论公理化。很快该问
5、题就成为当时数学界乃至整个自然科学界迫切需要结局的问题之一。最早对概率论严格化进行尝试的是俄罗斯数学家伯恩斯坦(C.H.Bernstein,1880-1968)和奥地利数学家米泽斯(R.vonMises,1883-1953)。因此，到20世纪初，概率论的一些基本概念，如：概率等没有明确的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。1917年伯恩斯坦发表了题为“论概率论的公理化基础”的论文,随后他仍致力于研究概率论公理化。1927年他的概率论第一版问世,最后一个版本即第四版出版于1946年。伯恩斯坦在书中给出了详细的概率论公理体系。（三）概率论的理论基础概率论的第一本专著是1713年问世的
6、雅各贝努利的推测术。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该书中表述并证明了著名的大数定律。所谓大数定律，是指当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定律第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，成为了概率论与其应用领域的桥梁。因此，伯努利被称为概率论的奠基人。定义随机事件、概率等概念后,伯恩斯坦引进了三个公理。基于这三个公理构造出整个概率论大厦,但其理论体系并不令人满意。正如柯尔莫哥洛夫所说,第一个系统的概率论公理化体系是伯恩斯坦所给,其建立的基础是依据随机事件的概率对事件做定性比较的思想。在定性比较思想中概率的数值似乎是推导得出,而不是基本概念。米泽斯
7、的主要工作是概率论的频率定义与统计定义的公理化。在概率,统计和真理(1928)一书中,他建立了频率的极限理论,强调概率概念只在大量现象存在时才有意义。虽然频率定义在直观上易于理解,易为实际工作者和物理学家所接受,便于在实际工作生活中应用,但像某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率,米泽斯理论是无法定义的。数学家柯尔莫哥洛夫为概率论确定严密的理论基础。1933年，他发表了著名的概率论基础是概率论的一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦便由这六条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可。公理化
8、结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。（四）概率论与生活的关系 概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。二、随机事件及其概率（一）事件分类生活中的事件发展过程包括必然事件，不可能事件和偶然事件。必然事件指的在每次的试验中，某一事件一定会发生。如，在100个红色小球中任取一个小球，则这个小球一定是红色的。在标准的大气压下，水加热到100，水就一定沸腾。不可能事件指的是在试验中不可能发生发生的事件。如，从混有四件次品的产品中任意抽取五件，它
9、们全部是次品偶然事件就是不确定现象，也是说在每一次试验中，某一事件不一定会发生，是一种随机事件。如，抛掷一枚硬币，落到地面上，哪一面是向上的。对于硬币哪一面向上，这一事件的发生是不确定的，可以正面向上也可以反面向上，在试验前不能预先知道哪一面向上。（二）频率与概率频率是一组实验中关心的某个结果出现的次数比上所有实验次数的比值，一定程度上反映事件发生的大小，可能性。一个事件随着试验的次数不同，结果就可能改变。所以，只能是一定程度上在某个点附近波动。比如你抛掷均匀的硬币10000次，出现正面的频率就会非常接近于概率0.5。概率是一种现象的固有属性，比如一枚均匀的硬币，随意抛掷的话正面出现的概率就是
10、0.5。这跟你的实验是没有关系的。概率就是随机变量发生可能大小的度量。频率的本质就是概率，他们的最基本的性质有三个，非负性，规范性，有限性。这些基本性质也是为概率的进一步发展奠定基础。三概率在生活中的应用（一）抽签先后且公平性（古典概型）例1：概率来源于日常生活，在生活中应用非常广泛，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情。我们就来研究一下，从概率方面来说抽签次序是否影响抽签结果？分析：这是古典概率的一个典型问题。解法1：不一般性，第一，不妨考察10个签中有一个彩签的情况，对第1个抽签者来说，他从10个签中任抽一个，得到彩签的概率，为了求得第2个抽签者抽到彩签的概率，把前2人抽签的情况作一整体分
11、析，从10个签中先后抽出2个，可以看成从10个元素中抽出2个进行排列，它的种数是，而其中第2人抽到彩签的情况有，因此,第1人未抽到彩签，而第2人抽到彩签的概率为,通过类似的分析，可知第10个抽签的概率为,一般地，如果在n个签中有1个彩签，n个人依次从中各抽1个，且后抽人不知先抽人抽出的结果，那么第i个抽签者(i=1,2,n)抽到彩签的概率为；解法2：在n个签中第i个抽签者抽到彩签，此时样本点取决于n个人中那个抽到彩签。共有， 样本点，而第i个人抽彩签，只需其余（n-1）个人在（n-1）个签中选。即 ，个签中第i个人中签的 概率为.以上两种揭发所得结果相同，都与抽签的顺序i无关，这证明抽签是公平
12、的。如果n个人将有1个人中签，那么无论是先抽还是后抽，其中签的概率均为；也就是说，并未因为抽签的顺序不同而影响到其公平性。 (二) 会面问题 （几何概型）例2：甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去。求两个人能会面的概率。分析：这是一个几何概率问题，通常可借助几何上的度量（长度、面积、体积或容积等）来合理地规定其概率。x-y=-15解：问题主要涉及到甲和乙到达会面处的时间这两个变量，若用x和y表示甲、乙两人到达约定地点的时间(以分钟计算)，则两人能够会面的充要条件是|x-y|15,在平面上建立直角坐标系，则他们所x-y=15有可能的到达时间都可
13、由有序对(x,y)来表示其中0x60,0y60,于是样本空间即为图中边长为60的正方形区域。这是一个几何概率问题，由等可能性知。结果表明；按此规则相会，两人能够会面的概率不超过0.5.若把约定时间推晚些，相会的概率会大些。（三）追究责任问题 （条件概率）在谈及随机试验及其中各个事件的概率的时候，总是在一组确定的条件下讨论。附加条件（即小前提）通常以某个事件已经发生的形式给出，这就是已知某事件已发生后的条件概率。例3：某工厂有有四条生产线同时生产同一种产品，该四条生产线的产量分别占总产量的15，20，30，35，又这四条生产线的不合格品率分别为0.05，0.04，0.03及0.02，现在有一用户
14、买了该工厂1件产品，经检查是不合格品，对用户按规定进行索赔。厂长要追究生产线的责任，但是该产品是哪条生长线生产的标志已脱落。问厂长应如何处理这件不合格品比较合理？比方说，第4条（或第1条、第2条、第3条）生产线应承担多大责任？由于不知该产品哪条生产线生产的，因此每条生产线都要负责任。各生产线所负责任的大小应该正比该产品是各个生产线生产的概率。解：设Ai=“该不合格品是i车间生产的”，i=1，2，3，4; B=“从该厂的产品中任取1件恰好取到不合格品”则第i条生产线所负责任的大小（比例）为条件概率,i=1,2,3,4; 由贝叶斯公式，得： i=1,2,3,4;又因 P(A1)=0.15, P(A
15、2)=0.2, P(A3)=0.3, P(A4)=0.35. =0.05, =0.04,=0.03 ,=0.02.从而： .即第1，2，3，4条生产线所负责任比重为0.238，0.254，0.286，0.222.（四）正常运作的问题 （伯努利概型）例4：金工车间有10台同类型的机床，每台机床设备的电动机功率为10千瓦.已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台设备能正常运作的概率是多少？分析：50千瓦电力可同时供给5台机床开动，因而10台机床中同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作。所要求的概率就是求“同时开动的机床不超过5台”这一事件的概率.因为每台机床的使用是相互独立的，且在某一时刻，机床只有“开动”与“不开动”两种情况，且“开动”的概率为=，“不开动”的概率为。本题可视为10重伯努利试验，可用二项概率公式进行求解.解：设10台机床中正在开动着的机床台数为，则()K()10-K，同时开动不超过5台的概率： = 0.994故这10台设备能正常运作的概率为0.994。（五）竞争问题 （中心极限定理）甲乙两电影院在竞争1000名观众，假定每个观众随意的选择一个电影院，
